2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标二)及答案

∵==2

∴BD=2DC， ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在△ABD中，在△ADC中，∴

=

==

=．…6分

=

． ，∴sin∠B=，∴sin∠C=

；

（2）由（1）知，BD=2DC=2×

过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC， ∴DM=DN，

∴==2，

∴AB=2AC，

令AC=x，则AB=2x， ∵∠BAD=∠DAC， ∴cos∠BAD=cos∠DAC， ∴由余弦定理可得：∴x=1， ∴AC=1， ∴BD的长为

，AC的长为1．

=

，

18．（12分）（2015?新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）； （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．

【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可； （2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可． 【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的

平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散； （2）记CA1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”， 记CA2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”， 记CB1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”， 记CB2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”， 则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥， 则C=CA1CB1∪CA2CB2，

P（C）=P（CA1CB1）+P（CA2CB2）=P（CA1）P（CB1）+P（CA2）P（CB2）， 由所给的数据CA1，CA2，CB1，CB2，发生的频率为所以P（CA1）=所以P（C）=

19．（12分）（2015?新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．

，P（CA2）=×

+

×

，P（CB1）==0.48．

，

，

，，

，

，P（CB2）=

【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；

（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为

，根据

即可求出法向量，

坐标可以求出，可设直线AF即可求得直线AF与平面α

与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=所成角的正弦值．

【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图： （2）作EM⊥AB，垂足为M，则： EH=EF=BC=10，EM=AA1=8； ∴

，∴AH=10；

以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）； ∴设

；

为平面EFGH的法向量，则： ，取z=3，则

；

若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则： sinθ=

=

；

．

∴直线AF与平面α所成角的正弦值为

20．（12分）（2015?新课标Ⅱ）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M． （1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论． （2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．

【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），