2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标二)及答案

﹣可得a=b， c=

=

=1，

a， ．

即有e==故选：D．

12．（5分）（2015?新课标Ⅱ）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪

（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）

【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x?g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．

【解答】解：设g（x）=

，则g（x）的导数为：g′（x）=

，

∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立， 即当x＞0时，g′（x）恒小于0， ∴当x＞0时，函数g（x）=又∵g（﹣x）=

=

=

为减函数，

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）=

=0，

∴函数g（x）的图象性质类似如图：

数形结合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0

?或，

?0＜x＜1或x＜﹣1． 故选：A．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）（2015?新课标Ⅱ）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=

．

【分析】利用向量平行即共线的条件，得到向量λ+与+2之间的关系，利用向量相等解答．

【解答】解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2）， 所以

，解得

；

故答案为：．

14．（5分）（2016?新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件最大值为

．

，则z=x+y的

【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．

【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大， 由

得D（1，），

；

所以z=x+y的最大值为1+

故答案为：．

15．（5分）（2015?新课标Ⅱ）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3 ．

【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．

【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5， 令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），① 令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．② ①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1）， 所以2×32=16（a+1）， 所以a=3． 故答案为：3．

16．（5分）（2015?新课标Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，

则Sn= ﹣ ．

【分析】通过Sn+1﹣Sn=an+1可知Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，两边同时除以Sn+1Sn可知

=1，进而可知数列{论．

【解答】解：∵an+1=Sn+1Sn， ∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn， ∴

﹣

=1，

=﹣1，

﹣

}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结

又∵a1=﹣1，即∴数列{∴

}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，

=﹣n，

∴Sn=﹣， 故答案为：﹣．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）（2015?新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． （1）求

；

，求BD和AC的长．

（2）若AD=1，DC=

【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=从而得解

．

．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分

，sin∠C=

，

（2）由（1）可求BD=

∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．

【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，