2013届高考数学第一轮专项复习教案2

13.2导数的应用

●知识梳理

1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤. （1）求f?（x）.

（2）确定f?（x）在（a，b）内符号.

（3）若f?（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数； 若f?（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数. 2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤. （1）求f?（x）.

（2）f?（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；

f?（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.

●点击双基

1.函数y=x2（x－3）的减区间是 A.（－∞，0） B.（2，+∞） C.（0，2） D.（－2，2） 解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得0

2.函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足 A.a<0且b=0 B.a>0且b∈R C.a<0且b≠0 D.a<0且b∈R 解析：f?（x）=2ax，x<0且f?（x）<0，

∴a>0且b∈R. 答案：B

3.已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］ A.在（－2，0）上递增 B.在（0，2）上递增 C.在（－2，0）上递增 D.在（0，2）上递增

解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，F?（x）=4x3－8x，

令F?（x）>0，得－22，∴F（x）在（－2，0）上递增. 答案：C

4.在（a，b）内f?（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件. 解析：∵在（a，b）内，f（x）>0，∴f（x）在（a，b）内单调递增. 答案：充分

●典例剖析

【例1】设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.

剖析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.

解：f?（x）=3x2－6ax+2b，由题意知

2??3?1?6a?1?2b?0, ?32??1?3a?1?2b?1??1,?3?6a?2b?0,即?

2?3a?2b?0.?解之得a=，b=－

131. 213此时f（x）=x3－x2－x，f?（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1）. 当f?（x）>0时，x>1或x<－， 当f?（x）<0时，－

∴函数f（x）的单调增区间为（－∞，－）和（1，+∞），减区间为（－，1）. 评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.

【例2】（2004年全国，19）已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.

剖析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负.

解：f?（x）=3ax2+6x－1.

（1）当f?（x）<0时，f（x）为减函数.

3ax2+6x－1<0（x∈R），a<0时，Δ=36+12a<0，∴a<－3. ∴a<－3时，f?（x）<0，f（x）在R上是减函数. （2）当a=－3时，f（x）=－3（x－）3+

138. 913131313由y=x3在R上的单调性知：a=－3时，f（x）在R上是减函数，综上，a≤－3. 评述：f（x）在R上为减函数?f?（x）≤0（x∈R）. 【例3】（2004年全国，21）若函数y=x3－

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ax+（a－1）x+1在区间（1，4）内2为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围.

剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

解：f?（x）=x2－ax+a－1=0得x=1或x=a－1，

当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意.

当a－1>1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，+∞）上为增函数.

依题意，当x∈（1，4）时，f?（x）<0，当x∈（6，+∞）时，f?（x）>0，∴4≤a－1≤6.

∴5≤a≤7.∴a的取值范围为［5，7］.

评述：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数f?（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.

●闯关训练 夯实基础

1.已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：f?（x）=3x2－a在［1，+∞)上，f?（x）≥0恒成立，即a≤3x2在［1，+∞）上恒成立， ∴a≤3. 答案：D

2.已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

解析：f?（x）=4x（x2－3x+5）在［1，2］上，f?（x）>0， ∴f（x）在［1，2］上单调递增. ∴f（x）≥f（1）=7.

∴f（x）=0在［1，2］上无根. 答案：D

?x）3.函数（fx）的导函数y=f（的图象如下图，则函数（fx）的单调递增区间为________.

解析：在［－1，0］和［2，+∞)上，f?（x）≥0. 答案：［－1，0］和［2，+∞) 4.若函数y=－

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x+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________. 3解析：y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0. 答案：b>0

5.设函数f（x）=x3－

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ax+3x+5（a>0），求f（x）的单调区间. 2解：（1）f?（x）=3x2－ax+3，判别式Δ=a2－36=（a－6）（a+6）.

1°0

Δ<0，f?（x）>0对x∈R恒成立. ∴当0

a?a2?36a?a2?363°a>6时，Δ>0，由f?（x）>0?x>或x<.

66a?a2?36a?a2?36

666a?a2?36）内单调递减. 6x26.设f（x）=x－－2x+5.

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（1）求f（x）的单调区间；

（2）当x∈［1，2］时，f（x）

?x）解：（1）f（=3x2－x－2=0，得x=1，－

22?x）.在（－∞，－）和［1，+∞)上f（>0，

33f（x）为增函数；在［－区间为（－∞，－

2，1］上f?（x）<0，f（x）为减函数.所以所求f（x）的单调增322]和［1，+∞)，单调减区间为［－，1］.

33（2）当x∈［1，2］时，显然f?（x）>0，f（x）为增函数，f（x）≤f（2）=7. ∴m>7.

培养能力

7.已知函数f（x）=x3－ax－1.

（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使f（x）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）证明f（x）=x3－ax－1的图象不可能总在直线y=a的上方.

解：f?（x）=3x2－a，（1）3x2－a>0在R上恒成立，∴a<0.

又a=0时，f（x）=x3－1在R上单调递增，∴a≤0.

（2）3x2－a<0在（－1，1）上恒成立，即a>3x2在（－1，1）上恒成立，即a>3.