山东省淄博第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题带答案

121

没有投进\为事件A . 则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= , 352－－－－－－∴ P(A) = P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)

1211

= [1－P(A1)] ·[1－P (A2)] ·[1－P (A3)]=(1－)(1－)(1－)=

35251

∴ 3人都没有投进的概率为 . ………………5分

52

(Ⅱ)随机变量ξ的可能值有0,1,2,3, ξ~ B(3, ), 即

5

2k33-k

P(ξ=k)=Ck( (k=0,1,2,3) 35)(5)

2033271(2)1(3)2=54; P(ξ=0)= C0()()= ; P(ξ=1)= C3535512551252231363(2)3=8 ; P(ξ=2)= C2()()= ;P(ξ=3)= C35351255125ξ的概率分布为:

ξ 0 P ………………10分

262318

均值E (ξ)=np=3×=，方差D (ξ)=np(1－P)=3××=………………12分

555525 18、（本小题满分10分）、已知函数f(x)=ax3＋bx2－3x在x=±1处取得极值.

（1）讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； （2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。

18、（1）f(1)是极大值和f(－1)是极小值；………………5分（2）y=9x＋16 ………………10分

19、（本小题满分10分）、盒中装有标号为1~12的12个乒乓球，其中有9个新的3个旧的.从盒中任取3个球供训练使用，训练结束后球全部放回盒中，此时盒中旧球的个数是X一个随机变量，求X的分布列。

19、解：由题意可知：X可能的取值为3，4，5，6. ………………1分 32C1C3C31927

当X=3时，P(X=3)== , 当X=4时，P(X=4)= =,

32203220 C12C12

1C2C3C39108984

当X=5时，P(X=5)= =,当X=6时，P(X=5)= = ………………9分

32203220C12C12ξ 3 4 5 6 1 2 3 2754368 125125125125

P 1272721 2202205555 ………………10分

20、（本题满分12分）

某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x?0）万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元， 其中f(x)?a(x?1)?2，g(x)?6ln(x?b)（a?0,b?0），已知投资额为零时，收益为零．

（Ⅰ）试求出a、b的值；

（Ⅱ）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值．（精确到0.1，参考数据：ln3?1.10）

21、（本小题满分13分）、某商场决定国庆节在商场外开展促销活动，根据以往经验，

当天遇到暴雨时商场要少收入4万元，遇到小雨时要少收入1万元。9月30号气象台预报国庆节当地降暴雨的概率是5%，降小雨的概率是20%，为开展好促销活动，商场设计了两种方案：方案一：象往年一样，不采取任何措施，希望不下雨；方案二：在商场外搭一个雨棚，建设费为2000元，但只能防小雨(即下小雨时，不影响收入).问哪种方案风险较小？

21、解：设方案一、二的损失分别为X1、X2，则X1的取值分别为：0、1、4(万元)，

其分布列为：

X1 P 0 0.75 1 0.2 4 0.05 ∴ EX1=0×0.75＋1×0.2＋4×0.05=0.4 (万元) ………………4分

而X2的取值分别为：0.2、4.2(万元)，其分布列为：

X1 P 0.2 0.95 4.2 0.05 ∴ EX2=0.2×0.95＋4.2×0.05=0.4 (万元) ∴ EX1=EX2 ………………8分

但是 DX1=(0.4―0)×0.75＋(0.4―1)×0.2＋(0.4―4)×0.05=0.84 DX2=(0.4―0.2)×0.95＋(0.4―4.2)×0.05=0.76 ∴ DX1>DX2………………12分

∴ 虽然损失的平均值相等，但方案二更稳定一些，所以用方案二风险更小一些。

………………………………13分

22、（本小题满分13分）、已知函数f?x??alnx?x?1?a?R?． （Ⅰ）求f?x?的单调区间；

（Ⅱ）若f?x??0在?0,???上恒成立，求所有实数a的值；

2

2

2

2

2

（Ⅲ）证明：

ln2ln3ln4lnnn?n?1??????????n?N,n?1?．

345n?14aa?x?1??x?0?， xx22、解析： （Ⅰ）f??x??当a?0时，f??x??0，f?x?减区间为?0,???．

当a?0时，由f??x??0得0?x?a，由f??x??0得x?a， ∴f?x?递增区间为?0,a?，递减区间为?a,???．………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当a?0时，f?x?在?0,???上为减区间，而f?1??0， ∴f?x??0在区间x??0,???上不可能恒成立；

当a?0时，f?x?在?0,a?上递增，在?a,???上递减，f?x?max?f?a??alna?a?1，令g?a??alna?a?1，

依题意有g?a??0，而g??a??lna，且a?0 ∴g?a?在?0,1?上递减，在?1,???上递增， ∴g?a?min?g?1??0，故a?1．………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a?1时，f?x??0在?0,???上恒成立，即lnx?x?1在?0,???上恒成立，当且仅当x?1时等号成立．

lnkk?1. ?k?12ln21ln32ln43lnnn?1当k?2,3,4,???,n时，分别有， ?，?，?，…，?324252n?12令x?k2?k?N,k?1?，则有lnk2?k2?1，即2lnk??k?1??k?1?，整理得

叠加得

ln2ln3ln4lnn1?2?3??????n?1?n?n?1??????????，

345n?124ln2ln3ln4lnnn?n?1?????????即得证． ………………12分

345n?14