2020年高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线

圆锥曲线的综合问题

[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．

1．直线与圆锥曲线的位置关系

设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0， ?Ax＋By＋C＝0，由?消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. ?F?x，y?＝0

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线l与圆锥曲线C有两个公共点；

Δ＝0?直线l与圆锥曲线C有一个公共点； Δ＜0?直线l与圆锥曲线C有零个公共点．

(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．

当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．

当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式

设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝

1＋k2|x1－x2|＝

1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2＝

1

1＋k2|y1－y2|＝

11＋2·?y1＋y2?2－4y1y2. k[常用结论]

过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．

(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一

条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点．( ) (3)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.( )

(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×

x2y2

2．(教材改编)直线y＝k(x－1)＋1与椭圆9＋4＝1的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

A [直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]

3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A [直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.]

4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．

3 [结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0). ]

x22

5．(教材改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线4－y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．

2

x22

4 [由题意可设直线l的方程为y＝m，代入4－y＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝4?1＋m2?＝21＋m2，x2＝－21＋m2，所以|AB|＝|x1－x2|＝41＋m2≥4，即当m＝0时，|AB|有最小值4.]

第1课时 直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线的位置关系

1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )

A．有且只有一条 C．有且只有三条

B．有且只有两条 D．有且只有四条

p

B [设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋2＋p

xB＋2＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．]

x2y2

2．若直线y＝kx＋1与椭圆5＋m＝1总有公共点，则m的取值范围是( ) A．m>1 C．0

B．m>0

D．m≥1且m≠5

1

D [由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0

3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( )

?1515?

? A.?－，33??

?15?

? C.?－

3，0??

?15?

? B.?0，

3??

??15

? D.?－

3，－1??

3

?y＝kx＋2，

D [由?22得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的

?x－y＝6两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?Δ＝16k－4?1－k?×?－10?＞0，?4k则?x＋x＝＞0，

1－k

?xx＝－10＞0，?1－k

2

2

1

2

2

12

2

1－k2≠0，

15

解得－3＜k＜－1，

??15

即k的取值范围是?－，－1?.]

3??

[规律方法] 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法

即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方代数法 程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标 几何法

弦长问题

?考法1 与弦长有关的问题

x22

【例1】 斜率为1的直线l与椭圆4＋y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )

45

A．2 B.5

410810C.5 D.5 即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数 C [设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由?x2＋4y2＝4，?消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， ?y＝x＋t，

4