山东省威海市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点N?0,??且斜率存在的直线l与曲线C交于P、Q两点，E(0,1)，求|EP|?|EQ|的取值范围．

??3?5?22?256?x222 【答案】（1）（）?y?1?4,??25?4【解析】 【分析】

uuuruuur(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出EP,EQ，得

到EP?EQ，所以|EP|?|EQ|?|PQ|，代入韦达定理即可求解.

222【详解】

22（1）设A?x0,0?，B?0,y0?，则x0?y0?9，

?3?uuuruuur?x?2?x0?x??x0?x??设M(x,y)，由BM?2MA得?2．

?y?y0?2(0?y)??y0?3y??3?又由于?x??(3y)2?9， ?2?2x2化简得M的轨迹C的方程为?y2?1．

4（2）设直线PQ的方程为y?kx?与C的方程联立，消去y得1?4k3， 52??x2?2464kx??0， 525???，设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，

24k?64x?x?，， 12225?20k25?100kuuuruuur由已知EP??x1,y1?1?，EQ??x2,y2?1?，则

则x1?x2?uuuruuur8??8??EP?EQ?x1x2??y1?1??y2?1??x1x2??kx1???kx2??

5??5??864??1?k2?x1x2?k?x1?x2??

525?64824k64??1?k2???k??

25?100k255?20k225?64?64k2?192k2?64?256k2 ?225?100k?0，

故直线EP?EQ．

2|EP|2?|EQ|2?|PQ|2??1?k2???x1?x2??4x1x2?

??222641?k25k?4??????24k?64??2??1?k????4?? 2?2?225?20k25?100k???25?1?4k?????64?4?29k2?25k4?25?1?4k22?，

令1?4k2?t，则

2?t?1?t?1??64?4?29??25????2?? 444?27?66t?25t????????2|PQ|??25t225t224??133?1764?????27?????， 25?t2727?????由于t?1?4k2?1，0?1?1， t4?|PQ|2?256． 2522?256?所以，|EP|?|EQ|的取值范围为?4,?．

?25?【点睛】

此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.

20．如图，EFGH是矩形，?ABC的顶点C在边FG上，点A，B分别是EF，GH上的动点（EF的长度满足需求）.设?BAC??，?ABC??，?ACB??，且满足sin??sin??sin?(cos??cos?).

（1）求?；

（2）若FC?5，CG?3，求【答案】（1）??【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化简sin??sin??sin?(cos??cos?)，根据勾股定理逆定理求得?.

53?的最大值. ACBC?2（2）2

（2）设?CAF??，由此求得【详解】

5353,?的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值. ACBCACBC（1）设BC?a，AC?b，AB?c，由sin??sin??sin?(cos??cos?)，

?b2?c2?a2a2?c2?b2??根据正弦定理和余弦定理得a?b?c??.

2bc2ac??化简整理得a2?b2?c2.由勾股定理逆定理得??（2）设?CAF??，0????2.

?2，由（1）的结论知?BCG??.

5?sin?. AC3?cos?. 在Rt?BCG中，BC?cos??CG，由CG?3，所以BC在Rt?ACF中，AC?sin??FC，由FC?5，所以所以

53?????sin??cos??2sin????， ACBC4??3?，

44453????所以当???，即??时，取得最大值，且最大值为2.

424ACBC由

??????【点睛】

本小题考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转换思想，应用意识.

21．如图，平面四边形ABCD为直角梯形，AD//BC，?ADC?90o，AB?AD?2BC?2，将△ABD绕着AD翻折到?PAD.

（1）M为PC上一点，且PM??MC，当PA//平面DMB时，求实数?的值；

（2）当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小为30o时，求PC与平面ABCD所成角的正弦. 【答案】（1）??2；（2）【解析】 【分析】

uuuuruuuur310. 20（1）连接AC交BD于点N，连接MN，利用线面平行的性质定理可推导出PA//MN，然后利用平行线分线段成比例定理可求得?的值；

（2）取AD中点O，连接OP、OB，过点P作l//AD，则l//BC，作PH?OB于H，连接CH，推导出OP?l，可得出?BPO为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角，由此计算出PH、PC，OB?l，并证明出PH?平面ABCD，可得出直线PC与平面ABCD所成的角为?PCH，进而可求得PC与平面ABCD所成角的正弦值. 【详解】

（1）连接AC交BD于点N，连接MN，

QPA//平面BDM，PA?平面PAC，平面PACI平面BDM?MN，?PA//MN，

在梯形ABCD中，QBC//AD，则VADN:VCBN，?CNBC1??， NAAD2QPA//MN，?PMAN??2，所以，??2； MCCN

（2）取AD中点O，连接OP、OB，过点P作l//AD，则l//BC，作PH?OB于H，连接CH.

QO为AD的中点，且BC//AD，AD?2BC，?OD//BC且OD?BC，

所以，四边形OBCD为平行四边形，由于?BCD?90o，?OB?AD，

VPAO?VBAO，??AOP??AOB?90o， QPA?AB，OA?OA，?PAO??BAO，?QO为AD的中点，所以，BD?AB?2，?OB?AB2?OA2?3，同理OP?3，

QAD?OP，AD?OB，OPIOB?O，?AD?平面POB，

Ql//AD，?l?OP，l?OP，??BPO为面PAD与面PBC所成的锐二面角，

??BPO?30o，

QOP?OB?3，?BPO?30o，??OBP?30o，则?BOP?120o，