第五章 大数定理

从而知，当 时，没有 。此例说明，一个随机变量序列依概率收敛与某一个随机变量，相应的分布函数列不一定在每一点上都收敛与这个随机变量的分布函数。

11. 由伯努利大数定律可知，当

即有 计算概率

时，频率 依概率收敛于概率 ，

，因此，对于很大的 和指定的 。（概念、伯努利大数定律）

，可以用它

答：不是。事实上，由 可知当 越大时， 接近 的可能性也

越来越大，而并没有提供一个具体的公式来计算这种概率到底是多大。 但可以使用隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理来近似的计算。

12. 二项分布两种近似计算的比较。（二项分布、近似计算、泊松分布、正态分布、隶莫佛－拉普拉斯定理） 13. 设某工厂有400台设备，每台设备发生故障的概率分为两种情况，一种为0.02，另一种为0.001。假设每台设备工作是相互独立的，试计算设备出故障的台数不小于2的概率。 14. 设设备出故障的台数为

算。

（1） 直接用二项分布计算：

，则

，下面使用3种方法分别计

（2） 用泊松分布近似计算：

， ， ，

，

，

，

（3） 用正态分布近似计算：

15. 甲乙两个戏院在竞争1000名观众，假定每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院应该设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1％。（例题、中心极限定理） 分析：因为两个戏院情况一样，故只需要考虑甲剧院就可以了。显然，第 个观众是否选择甲剧院是随机的，而选择的结果只有两个：选择甲剧院和不选择甲剧院。因此，这是一个服从0－1分布的随机变量，设为

。由题设可知

可以使用中心极限定理来求解。

是独立的。

解：根据分析，可知 众的总数，则有

使观众因缺少座位而离开，就必须要求

。

，设 表示选择甲剧院的观

个座位，为了不

。假设剧院共有

，从而要求

由于 ， ，根据独立同分布中心极限定理，有

利用标准正态分布表，可知 。可

见每个剧院应设537个以上的座位，才能保证因缺少座位而离去的概率小于

1％。

16. 某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修。设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力一千瓦。问应该供给车间多少瓦电力才能以99.9%的概率保证车间不会因供电不足而影响生产。（例题、棣莫佛－拉普拉斯定理） 分析：由于开工率只有0.6，所以并不需要为车间提供200千瓦的电力，这会造成浪费，而应根据开工的车床数来决定电力的供应，那么应该供应多少电力才能既节约电又能保证车床正常运转呢？这个问题可以使用棣莫佛－拉普拉斯定理来解决。可以把对每台车床的观察作为一次试验，若观察到车床

在工作作为事件 用二项分布。

，所以200台车床可以看成 重伯努利试验，因此可以使

解：由题意可知，事件 着的车床数为

，则

发生的概率为0.6，即 。设某时刻工作

。由

是一个随机变量，它服从二项分布

题目的要求，我们需要求 下面的表达式成立：

。

由于车床数是一个非负整数，所以

由棣莫佛－拉普拉斯定理定理得

查表可知，当 取

时，得 ，所以 ，

。这个结果表明，若供电142千瓦，则由于供电不足而影响生产