高中数学线性规划问题

A．﹣2 B．3 C．7 D．12

二．填空题（共2小题） 29．（2016?郴州二模）记不等式组

所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）

与D有公共点，则a的取值范围是 ．

30．（2015?河北）若x，y满足约束条件．则的最大值为 ．

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高中数学线性规划问题

参考答案与试题解析

一．选择题（共28小题）

1．（2015?马鞍山一模）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（ ）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8

【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后

将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值． 【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示， 由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8 故选D．

【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．

2．（2015?山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）

A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A（2，0），B（1，1），

若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，

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此时，目标函数为z=2x+y， 即y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件， 若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3， 此时，目标函数为z=3x+y， 即y=﹣3x+z，

平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件， 故a=2， 故选：B

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．

3．（2015?重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，

则m的值为（ ） A．﹣3 B．1

C．

D．3

【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 若表示的平面区域为三角形， 由

，得

，即A（2，0），

则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，

即2+2m＞0， 则m＞﹣1， 则A（2，0），D（﹣2m，0）， 由

，解得

，即B（1﹣m，1+m），

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由，解得，即C（，）．

则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC =|AD||yB﹣yC| =（2+2m）（1+m﹣=（1+m）（1+m﹣即（1+m）×

2

） ）=，

=，

即（1+m）=4

解得m=1或m=﹣3（舍）， 故选：B

【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．

4．（2015?福建）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实

数m等于（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

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