步步高高中数学 步步高选修2-2 第二章2.1.2

解析 由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数.故小前提不正确.

4.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于( ) A.演绎推理 C.合情推理 答案 A

解析 “所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提，得出“铁能导电”的结论，满足演绎推理的定义.

5.有一个“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点.因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点.以上推理中( ) A.大前提错误 C.推理形式错误 答案 A

解析 可导函数在某点处的导数为0，不一定能得到函数的极值点，因此大前提错误. 6.已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m∥n，n?α，则m∥α； ②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β； ③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α. 其中正确的命题个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B

解析 ①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确.故选B. 二、填空题

7.如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上的相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是________.

B.小前提错误 D.结论正确 B.类比推理 D.归纳推理

答案 341

解析 边长为1,2,3，…，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为

9

8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，……，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×8＋…8×9?＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－?27＋2×＝341，故所求总数

2??为341.

8.在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是________. 答案 y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞) 解析 由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.

9.三段论式推理是演绎推理的主要形式，“函数f(x)＝2x＋5的图象是一条直线”这个推理所省略的大前提是________________. 答案 一次函数的图象是一条直线

x2＋1

10.关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列命题：

|x|

①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)为减函数；③f(x)的最小值是lg 2；④当－11时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值. 其中所有正确结论的序号是________. 答案 ①③④

解析 显然f(－x)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称. x2＋11

当x>0时，f(x)＝lg ＝lg(x＋). xx

1

设g(x)＝x＋，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

x∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数. f(x)min＝f(1)＝lg 2.

∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数. 三、解答题

11.设m为实数，利用三段论求证方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.

证明 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若Δ＝b2－4ac＞0，则方程有两个相异实根.(大前提) 方程x2－2mx＋m－1＝0中，Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝(2m－1)2＋3＞0，(小前提) 所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.(结论)

12.证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数，并指出证明过程中运用的“三段论”.

证明 已知函数f(x)，对于任意x1，x2∈D，若x1＜x2，均有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间D上

10

是增函数.(大前提)

任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，

3332

则f(x1)－f(x2)＝(x3(x21＋x1)－(x2＋x2)＝x1－x2＋(x1－x2)＝(x1－x2)·1＋x2＋x1x2＋1)

13?. x1＋x2?2＋x2＋1＝(x1－x2)??22?4?

??

∵x1＜x2，∴x1－x2＜0. 13

x1＋x2?2＋x2又∵?2?42＋1＞0， ?

∴f(x1)－f(x2)＜0, 即f(x1)＜f(x2)，(小前提) ∴函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数.(结论)

13.S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC. 证明 如图，作AE⊥SB于E.

∵平面SAB⊥平面SBC， 平面SAB∩平面SBC＝SB， AE?平面SAB. ∴AE⊥平面SBC. 又BC?平面SBC.

∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC， ∴SA⊥BC.

∵SA∩AE＝A，SA?平面SAB，AE?平面SAB， ∴BC⊥平面SAB.

∵AB?平面SAB，∴AB⊥BC.

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