天津大学现代设计方法习题及答案.doc

λ??1?2?解：

?T?q，其元素?i为非零、非负的乘子, ?j为非零的乘子。

?g1(X*)?g2(X*)?0； g3(X*)?0，g4(X*)?0?起作用的约束为g1(X)，g2(X)?2(x1?3)???2??F??????2(x?2)2????2??2x??4??g1??1?????2x2??2??1??g2????2?根据K?T条件，应有??2??4??1??F??1?g1??2?g2?????1????2???0，则有??2??2??2?12?1?〉0，?1?〉033?2?即，X*???满足K?T条件。?1?

9. 论述有限元分析的过程。

1) 结构几何建模；

2) 设定材料常数，弹性模量、泊松比。。。； 3) 载荷、位移边界条件 ；

4) 划分单元，对单元编号 e = 1,2,3,…,n;

5) 对节点编号 k =1,2,3,…,N，列出单元与节点的对应关系表； 6) 计算等效节点力； 7) 形成单元刚度矩阵； 8) 组装整体刚度矩阵； 9) 引入位移边界条件；

10) 求解刚度方程，得节点位移； 11) 计算应力、应变及其分布。

习题二

1)论述确定单峰区间的进退步法，并确定函数f(x)?4x2?4x?1的一个搜索区间（单峰区间）。设初始点x0 = 0，初始步长h0 = 0.5。

（1）进退法是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。

对于给定的初始点x1和步长h，计算f(x1)和x2 =x1+h点函数值f(x2)。若f(x1)> f(x2)，说明极小点在x1的右侧，将步长增加一倍，取x3 =x2+2h。若f(x1)< f(x2)，

说明极小点在x1的左侧，需改变探索方向，即将步长符号改为负，得点x3 =x1 – h。 若f(x3)< f(x2)，则将步长再加大一倍，x4 =x3+4h ，或x4 =x3 -2h。即每跨一步的步长为前一次步长的2倍，直至函数值增加为止。

（2）

h?0.5x0?0f(x0)??1x1?x0?h?0.5 f(x1)??2x2?x1?2h?1.5f(x2)?2f(x0)?f(x1)?f(x2)?单峰区间为[x0,x2],即 [0, 1.5]

2)用黄金分割法求解

minf(x)?(x?1)2，初始区间为 [ 0, 2 ]，迭代2次。（10）

第一轮迭代：

a=0，b=2(1)x1?a?0.382(b?a)?0.764(1)f(x1)?0.0557x(1)2?a?0.618(b?a)?1.236f(x(1)2)?0.0557(1)Qf(x1)?f(x(1)2)

?淘汰区间[0, 0.764]；新区间为[0.764, 2] (或淘汰区间[1.236, 2]；新区间为[0, 1.236])第二轮迭代：

a=0.764，b=2 (a=0, b=1.236)(2)x1?1.236, (x(2)2?0.764) (2)f(x1)?0.0557 (f(x(2)2)?0.0557)

x(2)2?a?0.618(b?a)?1.528 (x(2)1?a?0.618(b?a)?0.472 )(2)f(x(2)2)?0.2788 (f(x1)?0.2788)(2)(2)Qf(x(2)Qf(x1)?0.2788>f(x(2)2)?0.2788>f(x1)?0.0557 (2)?0.0557)?淘汰区间[1.528,2]；新区间为[0.764，1.528] (?淘汰区间[0,0.472]；新区间为[0.472，1.236])

f(0.764）=0.0557f(1.528)?0.2788f(f(0.472）=0.2788f(1.236)?0.05570.764+1.5280.472+1.236)=f(1.146)?0.0213f()=f(0.854)?0.0213 22(2)(2)f(x1)?f(0.236)?0.0557f(x1)?f(0.236)?0.0557?minf(x)?0.0213，x*?1.146?minf(x)?0.0213，x*?0.8543)写出优化模型的标准式。

minF(X)或??X?D?Rn?D:gj(X)?0,j?1,2,...,m;hj(X)?0,j?m?1,m?2,...,p?????minF(X)?s.t.gj(X)?0,j?1,2,...,m;hj(X)?0,j?m?1,m?2,...,p??

4）论述梯度法的原理，并用梯度法求解

2minF(X)?2x12?x2?5，初始点X(0)=[1，1]

（一维优化用解析法），迭代2次。 梯度法的原理：

基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将n维优化问题求解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。

?4x??F(X)??1??2x2?第一次迭代：?-4?S(0)???F(X(0))????-2?确定最优步长：minF(X(0)??S(0))?2(1?4?)2?(1?2?)2?5dF?2?2?(1?4?)?(?4)?2?(1?2?)?(?2)?0d?5???=0.277818??1??0.11111?4?????9??X(1)=X(0)??S(0)??????=??1?2?40.4444??????9??第二次迭代：?4??9??0.4444?S=-?F(X)??????8-0.8889?????9??minF(X(1)??S(1))?2(?1?4?)2?(4?8?)2?59999

dF?2?2?(?1?4?)?4?2?(4?8?)?(?8)?0999999d?5????0.416712?4?0.0741??1??5???9??9?X(2)?X(1)??S(1)??????=??，412??8??0.0741???9???9?F(X(2))?5.033。(1)(1)

5）论述搜索法求解一维和多维优化问题的收敛准则

(1) 一维优化的基本思路是通过数值迭代逐步缩减极值点所在的单峰区间，当区间长度达到给定精度，即可认为优化过程收敛，则收敛准则为

a?b??1f(a)?f(b)??2

(2)多维优化问题数值搜索寻优过程的搜索结果构成一序列

[X(0),F(X(0))],[X(1),F(X(1))],[X(2),F(X(2))],......,[X(n),F(X(n))]，当n??时，该序列收敛于优化问题的解。根据序列理论，序列收敛的条件为：相邻两轮搜索得到的近似极值点“相对距离”小于给定精度，即：