数学分析讲义1

第一章 实数集与函数

§ 1 实数

重点：实数集的稠密性，两实数不等或相等的充要条件，Bernoulli 不等式 难点：n位不足近似及n位过剩近似的概念及性质

授课学时：1学时

教学要求：要使学生知道任何一个实数都可用一个确定的无限小数来表示，并在数轴上演示其过程。让学生了解n位不足近似与n位过剩近似的概念及有关n位不足近似与n位过剩近似 概念的不等式的命题，并给出直观解释。要求学生重点掌握实数集的稠密性、两实数不等或相等的充要条件。

一. 实数及其性质：回顾中学中关于实数集的定义.强调任何一个实数都可用一个确定的无

限小数来表示。

实数集R由有理数和无理数两部分构成。

有理数集R={

pq，p, q为整数，q?0}

={有限十进小数或无限十进循环小数}

无理数集合={无限十进不循环小数} 实数集和数轴上的点之间存在一一对应。

例 演示在数轴上确定与3.627对应的点过程。

任何一个有限小数都可看作无限循环小数（两种方式） 例 2.17?2.17000??2.16999?

若规定任何一个非零有限小数都用以9循环的无限小数来表示，0表示为0.00?，则每个实数可以有唯一的无限小数表示。

定义1 设x?a0.a1a2?an?为非负实数。称有理数

xn?a0.a1a2?an

为实数x的n位不足近似，而有理数 xn?xn?称为x的n位过剩近似，n=0, 1, 2, ….

对于负实数x??a0.a1a2?an?，其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为 xn??a0.a1a2?an?110n110n

和

xn??a0.a1a2?an

注意：对任何实数x, 有x0?x1?x2??, x0?x1?x2??

命题：设x与y为两个实数，则x>y的充分必要条件是存在非负整数n, 使得 xn?yn

此命题的证明可以通过实数的无限小数表示的几何演示过程加以解释。 实数集的主要性质： 1. 四则运算封闭性 2. 实数集的有序性

3. Rrchimedes性: ?a,b?R, b?a?0, ?n?N, ? na?b.

4. 稠密性: 任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无

理数。 5. 实数集的几何表示 ─── 数轴: 6. 两实数不等或相等的充要条件:

（1） a?b????0,a?b??, (2) a?b, ? ???0, a?b ? ?.

二. 几个重要不等式:

1. 绝对值不等式:

(1) |a|?|?a|?0; |a|?0?a?0 (2) ?|a|?a?|a|

(3) |a|?h??h?a?h; |a|?h??h?a?h (h?0) (4)

|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b

(5) |ab|?|a||b|

ab|a||b|(6) ||?(b?0)

2. 平均值不等式：设ai (i=1,2,3, …,n)为n个正实数，则

1

na1a2?an?a1?a2???ann

3. Bernoulli 不等式: ?x??1, 有不等式 (1?x)n?1?nx, n?N. 当x??1 且 x?0, n?N且n?2时, 有严格不等式 (1?x)n?1?nx.

证 利用二项展开式得到的不等式: 对?x?0, 由二项展开式 (1?x)n?1?nx?n(n?1)2!x?2n(n?1)(n?2)3!x???x,

3n有 (1?x)n?1?nx.

习题：Page4: Ex.1, Ex.3, Ex.8

§2 数集与确界原理

重点：确界的定义，确界原理 难点：有关确界的各种证明题

授课学时：2学时

教学要求：先介绍区间与邻域，再介绍有界集与无界集，让学生知道如何证明一个集合有界或者无界。最后学习确界概念，掌握好如何证明一个数是一个集合的上（下）确界的方法。

一. 区间与邻域：定义（开区间，闭区间，半开半闭区间，有限区间，无限区间，区间，a的?邻域U(a, ?)及空心?邻域Uo(a, ?)， a的?右邻域U+(a, ?)及 a的?左邻域U-(a, ?)，a的空心?右邻域Uo+(a, ?)ji及空心?左邻域Uo-(a, ?)，?的邻域，+?的邻域，-?的邻域）

二．有界集与确界原理 1。 有界数集:

定义1 设S为R中的一个数集。若存在数M（L），使得对一切x?S，都有x?M(x?L)，则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界（下界）。

若数集S既有上界又有下界，则称为S有界集。 S有界?存在M>0, 使得对一切x?S，都有|x|?M.

2

例 闭区间、(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 E??y y?sinx, x? ( ?? , ?? )?也是有界数集.

2．无界数集:

定义：若S不是有界集，则称S为无界集。

S无界??M?0,?x0?S,?|x0|?M.

S无上界??M?0,?x0?S,?x0?M. S无下界??M?0,?x0?S,?x0??M.

例 ( ?? , ?? ) , ( ?? , 0 ) , ( 0 , ?? )等都是无界数集,

??1?, x?( 0 , 1 )?也是无界数集. x?集合 E??y y?3. 上、下确界:

定义2 设S是R中的一个数集，若?满足：

（1） 对一切x?S，有x??，

（2） 对任何???，存在x0?S，使得x0??， 则称?为数集S的上确界，记作

??supS.

注意： 给出上确界定义时强调：定义中的第一句话表明?是S的上界. 第二句话表明?是S的最小上界。第二句话还可以用?语言描述。 定义2? ?是数集S的上确界的充分必要条件是 （1） 对一切x?S，有x??，

（2） 对任何??0，存在x0?S，使得x0????. 定义3 设S是R中的一个数集，若?满足： (1)

对一切x?S，有x??，

3