【人教A版】2017-2018学年高中数学选修1-2创新应用教学案(含答案)

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P2～P8的内容，回答下列问题．

(1)在数学《必修3》中，我们利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行了研究，其步骤是什么？所求出的线性回归方程是什么？

提示：步骤为：画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．线^^^性回归方程为y＝bx＋a.

(2)所有的两个相关变量都可以求回归方程吗？ 提示：不一定． 2．归纳总结，核心必记 (1)回归分析

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)回归直线方程

^^^

方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，^^

yn)的回归方程，其中a，b是待定参数，其最小二乘估计分别为：

??^b＝

x??? ?x－－

?^^－?a＝y－bx，

ni＝1

ni＝1

i

－－

? ?xi－x??yi－y?

＝

2

i＝1

－－

?xiyi－nxy

，i＝1

n

?xi2－nx

n

2

－1n－1n－－

其中x＝?xi，y＝?yi，(x，y)称为样本点的中心．

ni＝1ni＝1(3)线性回归模型

线性回归模型用y＝bx＋a＋e来表示，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差．

(4)刻画回归效果的方式 残差 残差图 ^把随机误差的估计值ei称为相应于点(xi，yi)的残差 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这残差图法 样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高 残差 平方和 ^残差平方和为? (yi－yi)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好 i＝1ni＝1? ?yi－yi?2，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越n^相关 指数R 2R＝1－2i＝1? ?yi－y?2接近于1，表示回归的效果越好 [问题思考] n^

(1)通过教材P2中的例1计算出的回归方程y＝0.849x－85.712可以预报身高为172 cm的女大学生的体重为60.316 kg.请问，身高为172 cm的女大学生的体重一定是60.316 kg吗？为什么？

提示：不一定．从散点图可以看出，样本点散布在一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y＝bx＋a表示．

(2)下列说法正确的有哪些？

①在线性回归模型中，e是bx＋a预报真实值y的随机误差，它是一个可观测的量；②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用R2来刻画回归效果，R2越小，拟合的效果越好；④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．

提示：e是一个不可观测的量，故①不正确；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差，故③不正确；②④是正确的．

[课前反思]

(1)回归分析的定义是什么？如何求回归直线方程？

(2)线性回归模型是什么？

(3)残差、残差图的定义是什么？如何作残差图？

(4)残差平方和和相关指数R2的定义是什么？它们与回归效果有什么关系？

[思考] 求线性回归方程的步骤是什么？ 名师指津：(1)列表表示xi，yi，xiyi，x2i； (2)计算x，y，?x2i，?xiyi；

i＝1

i＝1

n

n

^^

(3)代入公式计算a，b的值； (4)写出线性回归方程． 讲一讲

1．(链接教材P2－例1)某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：

x/百万元 y/百万元 (1)画出散点图； (2)求线性回归方程；

(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额． [尝试解答] (1)散点图如图所示：

2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：

i xi yi xiyi x2i 1 2 30 60 4 2 4 40 160 16 3 5 60 300 25 4 6 50 300 36 5 8 70 560 64 合计 25 250 1 380 145 525250

所以，x＝＝5，y＝＝50，?x2i＝145， 55i＝1

i＝1

?xiyi＝1 380.

－－

?xiyi－5xy

5

5

^

于是可得b＝

i＝1

i＝1

?xi2－5x

5

2

＝

1 380－5×5×50

＝6.5，

145－5×52^－^－

a＝y－bx＝50－6.5×5＝17.5.

^

所以所求的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5.

(3)根据(2)中求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时， ^

y＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，

即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．

(1)求线性回归方程前必须判断两个变量是否线性相关，如果两个变量本身不具备相关关系，或者它们之间的相关关系不显著，那么即使求出回归方程也是毫无意义的．

^^^

(2)写出回归直线方程y＝bx＋a，并用回归直线方程进行预测说明：当x取x0时，由线^

性回归方程可得y0的值，从而可进行相应的判断．