江苏省扬州中学2017-2018学年高三上学期开学考试 数学（文） Word版含答案

扬州中学2017-2018学年高三8月开学考试

数 学 （文科）试 题

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1.已知集合A?{x||x|?2},B?{x|1?0}，则A?B= ▲ ． x?12.已知p:?x?(1,??),log2x?0，则?p为 ▲ ．

a?i（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a? ▲ . i????4. 设向量a?(1,x),b?(?3,4)，若a//b，则实数x的值为 ▲ .

3.若复数z?5. 曲线y?x?cosx在点(??,)处的切线方程为 ▲ ． 226. 在平面直角坐标系xOy中，直线3x?4y?5?0与圆x2?y2?4相交于A、B两点，则弦AB的长等于 ▲ .

7. 记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为 ▲ ．

2x?1fx）?3成立的x的取值范围为 ▲ . 8.若函数f(x)?x是奇函数，则使（2?a9.已知?为第二象限角，sin??cos??10.若函数f(x)?2x?a3，则cos2?＝ ▲ . 3(a?R)满足f(1?x)?f(1?x)，且f(x)在[m,??)上单调递增，则

实数m的最小值为 ▲ .

?????????????2????11. 在菱形ABCD中，AB?23,?B?,BC?3BE,DA?3DF,

3????????则EF?AC? ▲ ．

12. 已知函数f(x)?x?1,x?R，则不等式f(x2?2x)?f(3x?4)的解集为 ▲ . x?1x13.已知f(x)是定义在[?2,2]上的奇函数，当x?(0,2]时，f(x)?2?，1函数

g(x)?x2?2x?m，如果对于任意x1?[?2,2]，存在x2?[?2,2]，使得g(x2)?f(x1)，则

实数m的取值范围为 ▲ .

14.当x?[?2,1]时，不等式ax?x?4x?3?0恒成立，则实数a的取值范围 为 ▲

32

二、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．（本小题满分14分）

已知tan(?4??)?1； 2sin2??cos2?（1）求tan?； （2）求．

1?cos2?

16. （本小题满分14分）

2已知p:关于实数x的方程x?mx?1?0有两个不等的负根；q:关于实数x的方程

4x2?4(m?2)x?1?0无实根．

（1） 若“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．

（2） 若关于x的不等式(x?m)(x?m?5)?0(m?R)的解集为M；q为真时，m的取值

集合为N，当M?N?M时，求实数m的取值范围．

17. （本小题满分14分）

???已知向量m??sin2x,2cosx?,n?（1）求f?x?的最小正周期；

????3,cosx?x?R?，函数f?x??m?n?1.

?（2）在?ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，若f?A??1,b?1,?ABC的面积为求a.

3，2

18. （本小题满分16分）

右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上， G，H在弦AB上)．过O作OP?AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB

2

于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m）．

（1）按下列要求建立函数关系式：

(i)设∠POF＝θ (rad)，将S表示成θ的函数； (ii)设MN＝x (m)，将S表示成x的函数；

（2）请选择上面的某一种方案来求： 当MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

19.（本小题满分16分）

已知函数 错误！未找到引用源。，

（1）求函数错误！未找到引用源。的定义域和值域；

（2）设错误！未找到引用源。（其中a为参数），求错误！未找到引用源。的最大值错误！未找到引用源。。

D

(第18题图)

C

A

E H M O P N

F G B

20．(本小题满分16分)

设函数f(x)?lnx，g(x)?m(x?n)(m?0).

x?1（1）当m?1时，函数y?f(x)与y?g(x)在x?1处的切线互相垂直，求n的值； （2）若函数y?f(x)?g(x)在定义域内不单调，求m?n的取值范围； （3）是否存在实数a,使得f(2ax)?f(eax)?f()?0对任意正实数x恒成立？若存在，x2a求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由.

高三数学（文科）答案2015年8月27日

1、?x|?1?x?2?2.?x?(1,??),log2x?03.－1 4. ? 5.2x?y??0

324?5 10.1 311.－12 12. (1,2) 13.??5,?2? 14. [?6,?2] （0,1）6. 23 7. (－∞，－3] 8. 9．??tan?11?tan?1???4??? .15.解：（1）tan??????? ?tan3?4?1?tan?tan?1?tan?24sin2??cos2?2sin?cos??cos2?2tan??15????（2） 21?cos2?2cos?26tan???m2?4?016.解： （1）若方程x?mx?1?0有两不等的负根，则?解得m?2

m?0?

即p:m?2，

2?若方程4x?4(m?2)x?1?0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0 解得：1＜m＜3.即q:1＜m＜3.

2?m?2?m?2由题意知，p、q应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真.∴?或??m?1或m?3?1?m?3解得：m≥3或1＜m≤2.

（2）（2）∵M?N?M ∴N?M

?m?5?1，解得：3?m?6． ?M?(m?5,m),N?(1,3)???m?317

18.解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．

(i)在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ． 在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5， 故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)．

7

即所求函数关系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．

20

………… 4分 (ii)因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．

351在Rt△ONF中，NF＝OF2－ON2＝100－(x＋3.5)2＝－7x－x2．

4

在矩形EFGH中，EF＝2NF＝351－28x－4x2，FG＝MN＝x， 故S＝EF×FG＝x351－28x－4x2．

即所求函数关系是S＝x351－28x－4x2，0＜x＜6.5． ………… 8分 （2）方法一：选择(i)中的函数模型：

令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，

则f ′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．………… 10分

45

由f ′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．

584

因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．

5

4

设cosα＝，且α为锐角，

5

则当θ∈(0，α)时，f ′(θ)＞0 ，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f ′(θ)＜0 ，f(θ)减，

4

所以当θ＝α，即cosθ＝时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值．

5

即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分 方法二：选择(ii)中的函数模型：

因为S＝x2(351－28x－4x2) ，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)， 则f ′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)． ……… 10分

9913

因为当0＜x＜时 ，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当＜x＜时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，

222