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现代光学系统设计
图1-7 子午垂轴像差
为了用垂轴像差表示色差，可以将不同颜色光线的垂轴像差用同一基准像面和同一基准主光线作为基准点计算各色光线的垂轴像差。一般情况下，我们采用平均中心波长光线的理想像平面和主光线作为基准计算各色光光线的垂轴色差。为了了解整个像面的成像质量，同样需要计算轴上点和若干不同像高轴外点的垂轴像差。对轴上点来说，子午和弧矢垂轴像差是完全一样的，因此弧矢垂轴像差没有必要计算0视场的垂轴像差。
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二、光学自动设计原理
在光学自动设计中，一般把对系统的全部要求，根据它们和结构参数的关系不同重新划分成两大类。
第一类是不随系统结构参数改变的常数。如物距L，孔径高H或孔径角余弦sinU，视场角ω或物高y，入瞳或孔径光阑的位置以及轴外光束的渐晕系数
，
，等等。
在计算和校正光学系统像差的过程中这些参数永远保持不变，它们是和自变量（结构参数）无关的常量。
第二类是随结构参数改变的参数。它们包括代表系统成像质量的各种几何像差或波像差。同时也包括某些近轴光学特性参数，如焦距，放大率，像距，出瞳距，等等。为了简单起见，将第二类参数统称为像差，用符号，…，构参数用符号，…，
代表。系统的结
代表。两者之间的函数关系可用下列形式表示
(2-1)
式中，，…，分别代表像差，…，上式称为像差方程组。
与自变量，…，之间的函数关系。
2.1 阻尼最小二乘法光学自动设计程序
当像差数大于自变量数的情形：m>n，这时方程组是一个超定方程组，它不存在满足所有方程式的准确解，只能求它的近似解—最小二乘解。
首先定义一个函数组，他们的意义如以下公式所示：
???x1?xn?????????????????????????????????????????????
??fm?fm?m??x1??????xn??Fm??x1?xn???1??f1?x1??????f1?xn??F1φ1…φm称为“像差残量”，写成矩阵形式为
??A?X??F
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取各像差残量的平方和构成另一个函数?(?X)：
?(?X)????T??
2ii?1m?(?X)在光学自动设计中成为“评价函数”，能够使?(?X)?0的解（即
φ1=…=φm=0），就是像差线性方程组的准确解。当m>n时，它实际上是不存在的。我们改为?(?X)的极小值解，作为方程组的近似解称为像差线性方程组的最小二乘解。
将φ代入评价函数得
mmin?(?x)?min??i?min[(A?x??F)(A?x??F)]
i?12T?(?x)?(A?x??F)(A?x??F)?[(A?x)??F](A?x??F)?(?xA??F)(A?x??F)??xAA?x??FA?x??xA?F??F?FTTTTTTTTTTTT
根据多元函数的极值理论，?(?X)取得极小值解的必要条件是一价偏导数等于零
??(?x)?0
(2-2)
运用矩阵求导规则求一阶偏导数
??(?x)?2AA?x?A?F?A?F?2(AA?x?A?F)?0
TTTTTAA?x?A?F?0
TT (2-3)
只要方阵ATA为非奇异矩阵，即它的行列式值不等于零，则逆矩阵(ATA)-1存在，方程式有解，解的公式为
?x?(AA)T?1A?F
T(2-4)
要使ATA非奇异，则要求方程组的系数矩阵A不产生列相关。即像差线性方程组中不存在自变量相关。在光学设计中，由于像差和结构参数之间的关系是非线性的。同时在比较复杂的光学系统中作为自变量的结构参数很多，很可能在若干自变量之间出现近似相关的现象。这就使矩阵ATA的行列值接近于零，ATA接近奇异，按最小二乘法求出的解很大，大大超出了近似线性的区域，用它对系统进行修改，往往不能保证评价函数的下降，因此必须对解向量的模进行限制。
受非线性的影响，必须对解向量的模进行限制。改为求下列函数的极小值解。
nL??(?x)?p??xii2
ni这样做的目的是，既要求评价函数?(?X)下降,又希望解向量的模??xi2??xT?x不要太大。经过这样改进的最小二乘法，称为阻尼最小二乘法，常数p称为阻尼因子。
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上述函数L的极小值解得必要条件为
或者
上式为阻尼最小二乘法的法方程组。式中，为单位矩阵；p为阻尼因子。解的公式为
以上公式中的逆矩阵
永远存在。在像差线性方程组确定后，即A和
。p值越大
的模越小，像差和结构
确定后，给定一个p值就可以求出一个解向量
参数之间越接近线性，越有可能使???x?下降。但是太小，系统改变不大，???x?下降的幅度越小。因此必须优选一个p值，使???x?达到最大的下降。具体的做法是，给出一组p值，分别求出相应的解向量
，用它们分别对系统结构参数进行修改以后，
，
用光路计算的方法求出它们的实际像差值，并计算出相应的评价函数值公式中
为系统实际像差和目标值的差，即实际的像差残量。比较这些?值的大小，
选择一个使?达到最小的p值，获得一个新的比原始系统评价函数有所下降的新系统。然后把这个新系统作为新的原始系统，重新建立像差线性方程组，这样不断重复直到评价函数???x?不再下降为止。采用上述求解方法的光学自动设计称为“阻尼最小二乘法”。
2.2 适应法光学自动设计程序
当方程式的个数m小于自变量个数n时，方程组是一个不定方程组有无穷多组解，选解向量的模为最小的那组解，在满足像差线性方程组的条件下，求极小值解。
n在满足像差线性方程组的条件下，求?(?x)???xi2i??x?xT的极小值解。吧像差
线性方程组作为一个约束方程组，求函数?(?x)??xT?x的极小值。求
min??(x)?mi?xn(?x同时满足约束方程组A?x??FT。
构造一个拉格朗日函数L。
L??(?x)??(A?x??F)
T拉格朗日函数L的无约束极值，就是Φ的约束极值。函数L中共包含有ΔX和λ两组自变量，其中ΔX为n个分量，而λ为m个分量，共有m+n个自变量。
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