2016年青岛二中自主招生数学试题及答案 - 图文

青岛二中2016年自主招生（数学）试题

初中学校 姓名 考号

1．化简

111?2?2?3?13?4???12015?2016.

2．二中学生气象小组预测：“五一”假期中，三天的降水概率依次为30%，40%，60%.请问这

三天不经历降水的概率是多少？

3．一次函数的图象过抛物线y?2x2?2x?1与y??x2?7x?7的两交点，求一次函数的解析式. 4．二中3D实验室加工一圆柱体，从其内部挖掉一个1010等高的小圆柱，得到一个新的几何体，其三视图如图所主视图左视图AB示，俯视图中⊙O2与⊙O1的弦AB相切，且

O1O2//AB,（如右图），若该几何体的体积为160?，求

弦AB的长.

俯视图

5．解方程||x?2|?x|?x?32. 6．自行车选手甲、乙、丙三人同时从A点出发沿着AB，BC，CA三条直线段行进，选手甲在这三条直线上行进的速度分别为12，10，15(km/h)，选手乙在这三条直线上行进的速度分别为15，15，

10(km/h)，选手丙在这三条直线上行进的速度分别为10，20，12(km/h).若三名选手同时到达终点

A，求?ABC的大小.

7．若干学生参加二中模联测试，参加测试学生得分均为60到100的整数(含60和100).已知此次测试平均分为80分，其中恰有5人得分为100分.试计算参加测试学生人数的最小值.

（阅读预备知识，完成相应题目）

第8题预备知识：二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交点的横坐标分别为x1,x2(x1?x2).

a?0时，则x?x221或x?x2时，ax?bx?c?0；当x1?x?x2时，ax?bx?c?0; a?0时，则x?x21或x?x2时，ax?bx?c?0；当x1?x?x2时，ax2?bx?c?0.

8．求使得2x2?2x?4x2?x?2为正整数k的所有实数x的值.

1第9题预备知识：圆的切线与过切点的弦所形成的角（弦切角），等于其所夹

2弧对的圆周角（如图?1??2）.

C9．在Rt?ABC中，AB为斜边，其内切圆分别与边BC，AB，

C1A1CA切于A是?AF1，B1，C1，线段C1F1B1C1的高.

（1）求?BAB1A1C1与?BAC的关系； B1（2）求?A1B1C1的度数；

（3）证明：点F在?BAC的平分线上.

10．已知边长为1的正方形ABCD，将AB边n(n?2)等分，点M是离点A最近的一个分点，正方形ABCD截去以AM为边长的正方形后，余下部分的面积记为Sn，记S?S2?S3???Sn.

（1）当n?2016时，求S的值；

（2）若函数y?kx(k?0)的图象与点(n,S?12)所在反比例函数图象交于A,B两点，过点A作x轴平行线与过点B作y轴平行线交于点P，则?ABP的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

11．?ABC中，?A,?B,?C的对边分别为a,b,c，函数y?(a?b?c)x2?2abx?12(a?b?c)的最小值为0，且cosA,cosB是关于x的方程(m?5)x2?(2m?5)x?m?8?0的两根.

（1）求证：?ABC是直角三角形；（2）求实数m的值； （3）若此三角形外接圆面积为

25?4，求?ABC内接正方形的边长. 12．已知点A(?2,?3)，B(1,0)，C(0,?3)

（1）求经过A、B、C三点的抛物线顶点D和抛物线与x轴另一交点E的坐标；

（2）若在线段OC上有一动点M（不在端点），分别以点O、C为圆心，OM、MC为半径作圆，在⊙O与⊙C上各有一动点P、Q，求EP?EQ的范围；

（3）若从点D向y轴上某点G出发，再从点G向x轴上某点H出发，再由点H到达点A，求所走路径长度的最小值.

2016自主招生考试（数学）评分标准

1.（本题满分6分）

解:原式=（2-1）?（3-2）?（4-3）???（2016-2015）

?2016-1?1214-1

2.（本题满分6分）

解:?三天的降雨概率依次为0.3,0.4,0.6 ?三天不降雨的概率依次为0.7,0.6,0.4

?P?0.7?0.6?0.4?0.168

3.（本题满分6分）

解:设抛物线交点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)

??y?2x2?2x?1?x1?1?x?y??x2?7x?7??或?y?2?2?3 1??1?y2设一次函数解析式为y?kx?b(k?0)，则

??k?b??1?k?4?2k?b?3???b??5 ?一次函数的解析式为y?4x?5

4.（本题满分6分）

解:设大圆半径为R，小圆半径为r

?V?160??10S底， ?S底??R2??r2?16?，即R2?r2?16

?AB?2R2?r2?8

5.（本题满分10分）

解:当x<-2时,||x?2|?x|?x?32?|?x?2?x|?x?32?|2x?2|?x?32 ??2x?2?x?372?x??5??2,无解.

当x≥-2时,2?x?32.x?1;

故原方程解为x?1.

6.（本题满分10分）

解:设AB?c，BC?a，CA?b，

由题意可知

cabca12?10?15?15?15?b10?c10?a20?b12 化简得??2a?2b?c?0?a?3ca?b?2c?0???4 则a2?c2?b2， ??ABC?900??5.

?b?4c

7.（本题满分10分）

解:设n名学生参加测试,恰有5人得100分,n-5人最少每人60分,总分最少

5?100?60(n?5)?60n?200,平均分最少

60n?200n?60?200n?80得n?10. 当5人得100分, 5人每人得60分时,平均分=500?5?6010?80010?80.故n最小=10.

8.（本题满分12分）

解: 2x2?2x?4x2?x?2?k为正整数,得(k?2)x2?(k?2)x?2k?4?0, 若k?2,则x?2,

k?2,则??(k?2)2?8(k2?4)??7k2?4k?36?0?k?1,2,

当k?1时,解x2?3x?6?0得x??3?332. 综上得x??3?332,2. 9.（本题满分12分）

解：(1)设?B1A1C1??，?BAC??，在?AB1C1中，因为AB1?AC1， 所以??2?AB1C1?180?，又?AB1C1??，所以??2??180? 所以?ABP的面积为定值1. 11.（本题满分14分）

解：（1）因为a?b?c?0，所以二次函数的图象开口向上，又最小值为0，所以??0，即

(2)由预备知识可知，?CC1A1??A1B1C1 因为CC1?CA1，且?C1CA1?90? 所以?CC1A1?45?，即?A1B1C1?45? （3）由（2）知?A1B1C1?45?，且C1F?B1F 所以?FB1C1为等腰直角三角形，所以C1F?B1F 又AC1?AB1，AF?AF，所以?AC1F≌?AB1F 所以?C1AF??B1AF，所以点F在?BAC的平分线上.

10.（本题满分14分）

解：（1）由题意，得S1n2?1(n?1)?n?1?n2?n2?(n?1)n2 S?S12?S3???Sn?(1?22)?(1?111?32?4(n?1)?(n?1)32)???(1?n2)?22?32???n2 ?n?1112n?2?2n 当n?2016时，S?112?20172?2016?4032. （2）由题意，得点(n,S?112)所在的反比例函数表达式为y?2x，图象在第一、三象限，且关于原点

对称，函数y?kx(k?0)图象过原点，也关于原点对称，若函数图象有交点，则k?0，不妨设在第一象限的交点为A(x0,y0)，则第三象限交点为B(?x0,?y0)，P(x0,?y0)，所以AP?2y0，BP?2x0，

S12AP?BP?2x0?y0，

又因为点A(xy11?ABP?0,0)在y?2x图象上，所以y0?2x，即2x0?y0?1，0(2ab)2?4(a?b?c)?12(a?b?c)?0

4ab?2[(a?b)2?c2]?0，4ab?2(a2?2ab?b2?c2)?0

a2?b2?c2，所以?ABC为直角三角形.

?cosA?cos2m?5（2）依题意，得?B???mm??5 ?cosA?cosB?8m?5由?A??B?90?，所以cosB?sinA

?cosA?sin2m?5所以?A??m?5 ?m?8?cosA?sinA?m?5又因为sinA?ac,cosA?bc，所以sin2A?cos2A?1

故有(sinA?cosA)2?2sinA?cosA?1 所以(2m?5m?5)2?2(m?8m?5)?1 所以m2?24m?80?0，解得m1?20，m2?4

又因为cosA?cosB?m?8m?5?0，所以m?4舍去，所以m?20. （3）因为?R2?254?,R?0，所以R?52，c?2R?5，

当m?20时，25x2?35x?12?0，解得x431?5，x2?5

不妨设cosA?435，cosB?5，则a?3,b?4,c?5

①DEADBC?AC，解得DE?127 ②过C作高CH交AB于H，则CH?AC?BC12AB?5 因为?CDE∽?CBADECK60AB?CH，解得DE?37 ADECFBCDKEBGHFA所以?ABC内接正方形边长为

12.（本题满分14分）

1260或. 737解：（1）设二次函数解析式为y?ax?bx?c(a?0)，由题意得：

2?4a?2b?c??3?a?1??2?a?b?c?0??b?2 ?y?x?2x?3 ??c??3c??3??可得：D(?1,?4)，E(?3,0)

（2）做直线EO,EC，按照与点E的近远分别交⊙O于A1,A2，交⊙C于B1,B2点

?EA1?EB1?EP?EQ?EA2?EB2，

又EA1?EB1?EC?EO?OC，EA1?EB1?EC?EO?OC

?32?EP?EQ?32?6

（3）过点D作关于y轴的对称点D(1,?4)，过A点作关于x轴的对称点A(?2,3). 连接AD交x轴于点H，交y轴于点G，此时线段AD的长度即为所求路径最小值. 即AD?

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