2016高中数学 2.2.2向量减法运算及其几何意义学案 新人教A版必修4

向量减法运算及其几何意义

学习目标: 1．理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则． 2．掌握向量减法的几何意义．

3．能熟练地进行向量的加、减运算．

学习重点：理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则． 学习难点：能熟练地进行向量的加、减运算． 一．知识导学

1．我们把与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作____，并且有a＋(－a)＝__. 2.向量减法的定义

若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的 ，记为_____，求两个向量差的运算，叫做 . 3．向量减法的平行四边形法则

→→→→以向量AB＝a，AD＝b为邻边作 ，则对角线的向量BD＝b－a，DB＝a－b.

4．向量减法的三角形法则

→→→在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b，即a－b表示从向量 的终点指向向量 的终点的向量.

二．探究与发现 【探究点一】向量的减法

对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表： 对 比 项 实数的减法 (1)相反数绝对值相等，符号相反的两个数，互为相反数 对 比 内 容 (2)零的相反数是零 (3)互为相反数的和是零 向量的减法 (1)相反向量 的两个向量，互为相反向量 (2) (3) (4)实数的减法：减去一个数等(4)向量的减法：减去一个向量相当于 于加上这个数的相反数 根据相反向量的含义，完成下列结论： →(1)－AB＝___； (2)－(－a)＝__； (3)－0＝__； (4)a＋(－a)＝__； (5)若a与b互为相反向量，则有： a＝____，b＝____，a＋b＝__.

【探究点二】 向量减法的三角形法则

(1)由于a－b＝a＋(－b)．因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量．已知向量a，b如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a－b.

1

(2)当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到： ①连接两个向量(a与b)的终点；

②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．

这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量a－b.

【探究点三】|a－b|与|a|、|b|之间的关系 (1)若a与b共线，怎样作出a－b?

(2)通过上面的作图，探究|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系： 当a与b不共线时，有：_____________________； 当a与b同向且|a|≥|b|时，有：_______________； 当a与b同向且|a|≤|b|时，有：_______________. 【典型例题】

例1 如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.

→→→→→跟踪训练1 如图所示，在正五边形ABCDE中，AB＝m，BC＝n，CD＝p，DE＝q，EA＝r，

求作向量m－p＋n－q－r.

例2 化简下列式子：

→→→

→

→

→

→

→

跟踪训练2 化简：(1)(BA－BC)－(ED－EC)；

→→→→→

2

→→→→→

(1)NQ－PQ－NM－MP；(2)(AB－CD)－(AC－BD)．

(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．

→→

例3 若AC＝a＋b，DB＝a－b.

(1)当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？ (2)当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?

(3)当a、b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？ (4)a＋b与a－b可能是相等向量吗？

→

→→

跟踪训练3 如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试求： (1)|a＋b＋c|；(2)|a－b＋c|.

三．巩固训练

→

→

→

( ) →D.DB

1．在平行四边形ABCD中，AC－AD等于

→→

A.AB B.BA C.CD 2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是

→→→→→A.AB－DC＝0 →→→

→

→

→

B.AD－BA＝AC →→D.AD＋CB＝0 →

( )

C.AB－AD＝BD

3．在平行四边形ABCD中，BC－CD＋BA－AD＝______

→→→→

4．已知OA＝a，OB＝b，若|OA|＝12，|OB|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________

四．课堂小结

→

→

1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB＝BA就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

→→3．以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量AB＝a，AD＝b，则两条对角线表

→→→示的向量为AC＝a＋b，BD＝b－a，DB＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加

强理解并记住.

3