全国初中数学竞赛辅导(初3)第17讲 平面几何中的定值问题

第十七讲 平面几何中的定值问题

定值问题的证明或计算，一般是通过图形的定量，如线段和定角来讨论的．如果问题中已明确给出定值，那么一般通过线段和角的和、差、倍、分的推导或计算来解决；如果问题中未给出定值，可以利用特殊的方法推测出定值，然后再加以一般化的证明．下面举几个例题，说明上述思考方法．

例1 如图3－80．已知△ABC中，AB=AC，P是其底边BC上任一点，设AP交△ABC的外接圆于Q点，求证：AP·AQ为定值．

分析 欲证AP·AQ为定值，我们先用特殊化方法找出这个定值是什么，然后再给以一般化的证明．为此，我们取P与B(或C)重合，则Q点也必与B(或C)重合，则AP·AQ应等于AB2(定值)，以下证明这个推测．证连结BQ．因为AB=AC，所以

∠ABC=∠ACB．

又因为∠ACB=∠AQB，所以

∠ABC=∠AQB．

又因为∠BAQ=∠PAB，所以

所以 AP·AQ=AB2(定值)．

注意 如果连结QC，将怎样证明？请读者思考．

例2 如图3－81．已知△ABC中，AB=AC，如果直线EF，MN都垂直于BC，试证明：不论MN，EF怎样平行移动，只要MN，EF之间的距离不变，五边形AMNFE的周长是一个定值．

分析 从图3－81中可以发现，如果引AD⊥BC于D，由已知条件可知AB(或AC)，AD，NF，BD(或CD)都为定值，因此，若五边形AMNFE的周长转化为以上各线段的表达式，则可判定其为定值． 证 作AD⊥BC于D，则

所以

所以

又因为

所以

所以

所以

由于△ABC为确定的等腰(AB=AC)三角形，所以AD，BD，CD，AB为定值，又因为EF，MN之间距离为定长，所以NF为定值．所以五边形AMNFE的周长为定值．

例3 设OA，OB是已知圆O的任意两条半径，过B引BE⊥OA于E，过E作EP⊥AB于P．求证：OP2+EP2为定值(图3－82)．

分析 由已知A，B为⊙O上任意两点，如果固定A，让B在圆上移动，当B点移动到半圆中点时，BE变成了半径r，E与O重合，

证 延长OP交⊙O于C，D(图3－82)．因为在直角三角形AEB中，∠AEB=90°，EP⊥AB于P，所以

EP2=AP·PB=CP·PD ＝(OC-OP)·(OD+OP) ＝r2-OP2，

所以 EP2+OP2=r2(定值)．

例4 若P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R(如图3－84)，

分析 根据已知，AC为过圆O内定点P的任意一弦，为了找定值，使AC特殊化，令AC为直径，则P是直径AC上的一个定点，这时由于PC，PQ同时垂直于切线，所以Q，C两点重合．同理A，R也重合(图3－85)．于是，

下面证明这个推测结论．

证 在图3－84中，作直径AB，连BC，并过OP作直径EF．由于∠ACB=90°，于是

△ABC∽△APR．