人教版数学八年级上册第13章 轴对称 测试卷(3)

【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．

【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．

【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值， ∵B、B′关于AC的对称， ∴AC、BB′互相垂直平分， ∴四边形ABCB′是平行四边形， ∵三角形ABC是边长为2， ∵D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴AD=

，BD=CD=1，BB′=2AD=2

，

作B′G⊥BC的延长线于G， ∴B′G=AD=

，

在Rt△B′BG中， BG=

=

=3，

∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2， 在Rt△B′DG中，B′D=故BE+ED的最小值为故答案为：

．

．

=

=

．

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【点评】本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．

12．如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．

【考点】轴对称-最短路线问题． 【专题】压轴题．

【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．

【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′， 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°， ∴在Rt△M′ON′中， M′N′=故答案为

=．

．

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【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．

13．在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，C，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF． （Ⅰ）如图①，当BE=时，计算AE+AF的值等于

（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明） 取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求． ．

【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理． 【专题】作图题；压轴题．

【分析】（1）根据勾股定理得出DB=5，进而得出AF=2.5，由勾股定理得出AE=

，再解答即可；

（2）首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使

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∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH=BP=BH=

=5，结合相似三角形选出格点K，根据

，得

=4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所

求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质得到

，得DG=DM=×5=3，易证△DFG≌△BEA，因此可

得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值． 【解答】解：（1）根据勾股定理可得：DB=因为BE=DF=， 所以可得AF=

=2.5，

，所以AE+AF=

，

，

根据勾股定理可得：AE=故答案为：（2）如图，

；

首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH=结合相似三角形选出格点K，根据

，得BP=BH=

=5，

=4=DA，易证△

ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使

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