人教版数学八年级上册第13章 轴对称 测试卷(3)

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

8．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）

A． B．1 C．2 D．2

【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．

【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=即为PA+PB的最小值．

【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′， 则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′， ∵∠AMN=30°，

∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°， ∵点B为劣弧AN的中点， ∴∠BON=∠AON=×60°=30°，

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OA，

由对称性，∠B′ON=∠BON=30°， ∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′=

OA=

×1=

， ．

即PA+PB的最小值=故选：A．

【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）

A． B．4 C． D．5

【考点】轴对称-最短路线问题．

【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=AB?CM=AC?BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．

【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，

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∵AD是∠BAC的平分线．

∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB=

=

=10．

∵S△ABC=AB?CM=AC?BC， ∴CM=

=

=

， ．

即PC+PQ的最小值为故选：C．

【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．

二、填空题

10．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 3 ．

【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线

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段长从而可求得四边形AEPQ的面积．

【解答】解：如图1所示，

作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，

∵AD=A′D=3，BE=BE′=1， ∴AA′=6，AE′=4．

∵DQ∥AE′，D是AA′的中点， ∴DQ是△AA′E′的中位线，

∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1， ∵BP∥AA′， ∴△BE′P∽△AE′A′， ∴

=

，即

=，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=，

S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD?DQ﹣CQ?CP﹣BE?BP =9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=， 故答案为：．

【点评】本题考查了轴对称，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．

11．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为

．

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