（优辅资源）湖南师大附中高三上学期月考试卷（五）理科数学试题Word版含解析

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中曲线的方程是，点是上的动点，点满足（为极点），点的轨迹为曲线标系，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐，（为参数）．

，已知直线的参数方程是（Ⅰ）求曲线直角坐标方程与直线的普通方程；

（Ⅱ）求点到直线的距离的最大值．

【答案】（Ⅰ）, ．（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用可得到曲线直角坐标方程，利用，点到代入法消去参数即可得到直线的普通方程；（Ⅱ）在直角坐标系中设直线的距离的距离的最大值.

试题解析：（Ⅰ）设在极坐标系中，据有，

，利用三角函数的有界性可得点到直线代入的方程整理得：，

再化为直角坐标方程是：即为所求．

直线的参数方程，（为参数）化为普通方程是．

（Ⅱ）由知，在直角坐标系中设，，

点到直线的距离，

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∴．

【名师点睛】本题考查直线的参数方程和普通方程的转化、椭圆极坐标方程和直角坐标方程的转化、椭圆参数方程的应用以及点到直线距离公式，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将换成和即可............................ 23. 选修4-5：不等式选讲

和（Ⅰ）已知函数．解不等式；

（Ⅱ）已知均为正数．求证：．

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析；

【解析】试题分析：（Ⅰ）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（Ⅱ）先利用基本不等式证明，直接用柯西不等式证明：

，即．再

利用分析法证明：即证，从而可得结论.

，再证试题解析：（Ⅰ）函数 ，

当时，不等式为，∴，即；

当时，不等式为，解得，即；

当时，不等式为，∴．

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综合上述，不等式的解集为：（Ⅱ）证明：因为都为正数，

．

所以①

同理可得②

③

当且仅当时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

得：．

或直接用柯西不等式证明：

，

即．

或要证即证，

再证

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