（优辅资源）湖南师大附中高三上学期月考试卷（五）理科数学试题Word版含解析

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【解析】 如图，延长相交于，连接， ，故答案为，交于，延长相交于，连接交于，可得截面五边形的中点，的周长为是边长为的正方体，且，. 分别是棱截面16. 已知向量夹角为，，对任意，有，则的最小值是__________．

【答案】 【解析】 向量夹角为，对任意，则，有，两边平方整理可得，即有，即，即有，，则则，由向量，画出夹角为，，由，建立平面直角坐标系，如图所示，则 ，表示优质文档

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与的距离之和的倍，当共线时，取得最小值，即有，故答案为. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数的监测数据，结果统计如下：

（Air Pollution Index）

大于 300 空气质优 量 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重 污染 重度污染 天数 10 15 20 30 7 6 12

（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100

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0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

附： （Ⅱ）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当产；当在区间，当时对企业限产（即关闭在区间时企业正常生在区间时的产能），当对企业限产在300以上时对企业限产，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万元，若以频率当概率，不考虑其他因素： ①在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值．

的恰为2天的概率；

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）①．②万元．

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据表格中的数据可完成列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据得出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论；（II）①根据古典概型概率公式可得“在本年内随机抽取一天，该天企业被限产达到或超过

”的概率为，利用独立重复试验概率公式可得这一年中随意抽取天，天中被限产达到或超过的恰为天的概率，②根据期望公式可得企业甲这一年的利润的期望值为 万元.

试题解析：（Ⅰ）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染 重度污染 合计 优质文档

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供暖季 23 7 30 非供暖季 65 5 70 合计 88 12 100

，

所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关．

”为事件，

（Ⅱ）①设“在本年内随机抽取一天，该天企业被限产达到或超过据题意有频数为25，，

则这一年中随意抽取5天，5天中被限产达到或超过的恰为2天的概率是：

．

②企业甲这一年的利润的期望值为

万元，

故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是万元．

【方法点睛】本题主要考查列联表、古典概型概率公式、离散型随机变量的期望以及独立性检验的应用，属于难题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成根据公式计算的值；(3) 查表比较列联表；（2）

与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）

18. 已知锐角优质文档

的三个内角、、满足 ．