北师大版八年级下册数学直角三角形 - -知识点整理及重点题型梳理（提高）

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北师大版八年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

直角三角形----知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用. 【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为

a，b，斜边长为c，那么a2?b2?c2.

要点诠释：

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立

方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：a?c?b，b?c?a， c??a?b??2ab.

22222222（4）勾股数：满足不定方程x?y?z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达

哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……

② 如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

222，2n，n?1（n?1,n是自然数）是直角三角形的三条边长； ③n?1④2n?2n,2n?1,2n?2n?1（n是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤m?n,m?n,2mn （m?n,m、n是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中

，所以

.

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方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中

，所以

.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

要点三、勾股定理的逆定理

，所以.

如果三角形的三条边长a，b，c，满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：

（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直

角三角形.

要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1） 首先确定最大边（如c）.

（2） 验证c与a?b是否具有相等关系.若c?a?b，则△ABC是∠C＝90°的

直角三角形；若c?a?b，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：

当a?b?c时，此三角形为钝角三角形；当a?b?c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆

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定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：

原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题. 要点六、直角三角形全等的判定（HL）

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角

形的形状和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三

角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，

书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【典型例题】 类型一、勾股定理

1、（2016春?卢龙县期末）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_________ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．

【思路点拨】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形． 【答案】5或

．

=5，三角形的

【解析】解：①当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长=

边长分别为3，4，5能构成三角形；②当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长=

=

，三角形的边长分别为3，

，，

亦能构成三角形；

综合以上两种情况，第三边的长应为5或故答案为5或

．

【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．

2、（2015春?黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．

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【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解． 【答案与解析】

解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，

△ADE中，DE=AE+AD，即x=（10﹣x）+16． ∴x=

（cm）．

cm.

2

2

2

2

2

答：DE的长为

【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．

类型二、勾股定理的逆定理

3、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝23，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．

【答案与解析】

解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°，

22222在Rt△ABD中，BD?AB?AD?2?(23)?16．

∴ BD＝4， ∴ AB?1BD，可知∠ADB＝30°， 222222在△BDC中，BD?CD?16?3?25，BC?5?25， ∴ BD?CD?BC，∴ ∠BDC＝90°， ∴ ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．

【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理． 举一反三：

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