数值线性代数课程设计

数值线性代数课程设计报告

(2014-2015第二学期)

姓名:王美玲 学号:081310104

任课教师:杨熙

南京航空航天大学

2015 年 6 月 18

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法求解线性方程组的数值效果比较

摘要：Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法是三种经典

的用于求解线性方程组的迭代方法，本文主要对这三种方法的数值逼近效果进行比较。

关键词：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；线性方程组

线性方程组的求解方法可归纳为直接法和迭代法。迭代法中有三种最为经典的迭代方法，就是Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。然而三种方法的收敛性，近似解的逼近效果有不同。本文将对三种方法求解线性方程组的迭代效果做相应探讨。

设有线性方程组Ax=b，A为非奇异矩阵，求x的近似解，三种迭代方法如下。 1. Jacobi迭代法 算法:

（1） 选取初始点 x (0) ，精度要求ep，最大迭代次数N，初始

化迭代次数k=0。

（2） 由 Jacobi迭代法计算公式计算点 x (k+1)

。

（3） 相对误差err小于等于精度要求ep时，输出 (k+1) 作为方

x

程的近似解。

（4） x (k) = x (k+1) ，k=k+1,转步骤（2）。 2. Gauss-Seidel迭代法 算法:

（1） 选取初始点 x

(0)

，精度要求ep，最大迭代次数N，初

始化迭代次数k=0。

（2） 由 Gauss-Seidel迭代法计算公式计算点 x (k+1)

。

（3） 相对误差err小于等于精度要求ep时，输出 (k+1) 作为方

x

程的近似解。

（4） x (k) = x (k+1) ，k=k+1,转步骤（2）。

3. SOR迭代法 算法:

（1） 选取初始点 x

(0)

，精度要求ep，最大迭代次数N，初

始化迭代次数k=0。

（2） 由 SOR迭代法计算公式计算点 x (k+1)

。

（3） 相对误差err小于等于精度要求ep时，输出 (k+1) 作为方

x

程的近似解。

（4） x (k) = x (k+1) ，k=k+1,转步骤（2）。

上述三种经典迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵谱半径小于1。

谱半径不易求解，而在一定条件下，通过系数矩阵A的性质可判断迭代法的收敛性。 定理1：

若系数矩阵A是严格对角占优或不可约对角占优，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。 定理2：

（1）SOR迭代法收敛的必要条件是0

（2）若系数矩阵A严格对角占优或不可约对角占优且0

(1) 生成随机矩阵10x10维严格对角占优矩阵A，右端随机向量b。

系数矩阵A是严格对角占优，所以Jacobi迭代法和Gauss-Seidel