苏教版数学中考总复习中考总复习：图形的变换--知识点整理及重点题型梳理（提高）

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（3）这些点形成的图象是一段抛物线． 函数关系式：y=12x+3（0≤x≤26）． 12【总结升华】本题是一道几何与函数综合题，它以“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式，通过动点P在AB上的移动构造探究性问题，让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中，提高动手能力，培养探究精神，发展创新思维． 类型三、旋转变换

5.（2016?本溪）已知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，点P是射线CB上一点（点P不与点B、C重合），线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M. （1）如图①，当AC=BC，点P在线段CB上时，线段PB、CM的数量关系是 ；

（2）如图②，当AC=BC，点P在线段CB的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图③，若

，点P在线段CB的延长线上，CM=2，AP=13，求△ABP的面积．

【思路点拨】（1）作出△ABC绕点A顺时针旋转90°，利用旋转的性质，和等腰三角形的性质再用中位线即可；

（2）作出△ABC绕点A顺时针旋转90°，利用旋转的性质，和等腰三角形的性质，再用中位线即可； （3）同（1）（2）的方法作出辅助线，利用平行线中的基本图形“A”得出比例式，用勾股定理求出x，最后用三角形的面积公式即可． 【答案与解析】 解：（1）如图1，

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将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'， ∴B'Q=BP，AB'=AB， 连接BB'， ∵AC⊥BC，

∴点C在BB'上，且CB'=CB， 依题意得，∠C'B'B=90°， ∴CM∥B'C'，而CB'=CB， ∴2CM=B'Q， ∵BP=B'Q， ∴BP=2CM， 故答案为：BP=2CM； （2）BP=2CM仍然成立，

理由：如图2，

将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q， ∴B'Q=BP，AB'=AB， 连接BB'， ∵AC⊥BC，

∴点C在BB'上，且CB'=CB， 依题意得，∠C'B'B=90°， ∴CM∥B'C'，而CB'=CB， ∴2CM=B'Q，

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∵BP=B'Q， ∴BP=2CM， （3）如图3，

设BC=2x，则AC=5x，

将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q， ∴BC=B'C'，B'Q=BP，AC=AC' 延长BC交C'Q于N， ∴四边形ACNC'是正方形， ∴C'N=CN=AC=5x， ∴BN=CN+BC=7x ∵CM∥QN， ∴∵CM=2， ∴∴QN=7，

∴BP=B'Q=C'N+QN﹣B'C'=5x+7﹣2x=3x+7， ∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7，

在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13， 根据勾股定理得，（5x）+（5x+7）=13 ∴x=1或x=﹣

（舍），

2

2

2

∴BP=3x+7=10，AC=5x=5， ∴S△ABP=BP×AC=×10×5=25．

【总结升华】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性质，旋转的性质，

中位线的性质，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．

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6 . 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）． 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即OO1和

OO12，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于

扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合， 然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动 到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……， 按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运 动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶 点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是_______________? 请你解答上述两个问题．

【思路点拨】求出正方形OABC翻转时点O的轨迹弧长, 再求面积即可.要理解的是第4n次旋转，顶点O没有移动. 【答案与解析】

解：问题①：如图，正方形纸片经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧OO1, O1O2, O2O3，

90???190???2?2??2??? 所以顶点O在此运动过程中经过的路程为?1?2???. 180180??资料来源于网络 仅供免费交流使用