2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：弧长与扇形面积

解答：解 ：如右图所示，过点D作DG⊥BC于点G，易知G为BC的中点，CG=1． 在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG=设∠DCG=θ，则由题意可得： S=2（S扇形CDE﹣S△CDG）=2（∴S=﹣． ﹣×1×）=﹣， =． 当r增大时，∠DCG=θ随之增大，故S随r的增大而增大． 当r=时，DG==1，∵CG=1，故θ=45°， ∴S=若r=2，则DG=∴S=﹣﹣===﹣1； ，∵CG=1，故θ=60°， ﹣． ﹣． ． ∴S的取值范围是：故答案为：﹣1≤S＜﹣1≤S＜﹣ 点评：本 题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、勾股定理等重要知识点．解题关键是求出S的函数表达式，并分析其增减性． 18. （2013杭州4分）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|= （平方单位）

19．（2013山东菏泽，10，3分）在半径为5的圆中，30°的圆心角所对弧的弧长为_______.

（结果保留?） 【答案】

5?. 6【解析】由弧长公式l?n?r30?5??5?得=.

6180180

n?r中，n表示弧所对的圆心角、r表半径. 180【易错提示】利用公式计算时n不带单位. 2．（2013山东日照，16，4分）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD

【方法指导】注意理解弧长公式l?为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_____________.

【答案】(3π?293)cm 4【解析】由题意得A′D=6,DC=3,∠C=90°,可得∠CA′D=30°。

120???323?3293??3??. 所以得到∠A D A′=30°.所以阴影部分的面积=

36044【方法指导】本题考查求阴影部分的面积，通常经过转化思想把阴影部分的面积转化成几个规则图形的面积的和或是差的问题。

20．（2013四川凉山州，16，4分）如图，在Rt△ABC中，?C?90，AC?8，BC?6，

两等圆

【答案】

A、B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 。

25?. 4【解析】. Rt△ABC中，?C?90，AC?8，BC?6，由勾股定理可得AB=10. 由图形可得两个扇形的面积和为半径为5,圆心角为90度的扇形的面积.即

90???5225??.

3604【方法指导】本题考查求阴影部分的面积.在求阴影部分的面积时一般用转化思想把阴影部分的面积转化成求规则图形的面积的和或差的问题. 21．（2013重庆，16，4分）如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）

O A （第16题图） 【答案】π－2

B

11n?r290???22【解析】解：∵S扇＝＝＝π，S△AOB＝OA·OB＝×2×2＝2．∴阴影部分的

22360360面积＝S扇－S△AOB＝π－2．

【方法指导】本题考查了扇形的面积、三角形的面积的求法，正确掌握扇形面积公式和三角

形的面积公式是解题关键．计算不规则图形的面积时，一般要注意把不规则图形的面积转化为三角形、正方形、圆或扇形等规则图形的面积的和（或差），然后求解．

【易错警示】不能熟练记忆扇形面积公式，或者混淆扇形的面积公式与弧长公式，是导致计算扇形而出错的主要原因．

122．（2013四川泸州，15，4分）如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇

3形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为

cm．

9cmO第15题图

【答案】35

【解析】首先求得扇形的弧长12πcm，即圆锥的底面周长，则求得底面半径6cm，然后利用勾股定理求得圆锥的高． 【方法指导】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

23. （2013广东省，16，4分）如题16图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 ．（结果保留?）

【答案】

3?. 8【解析】图中三块阴影部分都是扇形，且半径相等，由平行线内错角相等和正方形的对角线的性质可知，三个扇形的圆心角的度数之和为1350，

所以，图中阴影部分面积的和为

135???13?3?=，故答案填． 88360【方法指导】求一个规则图形的面积，往往直接用公式求，而求一个不规则图形的面积，通

常需要通过割（补）法，将不规则图形转化为规则图形，从而求解．

三．解答题

1．（2013江西，21，9分）如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．

（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01） （2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍） （参考数据： sin60°=计算器）

31，cos60°=，tan60°=3，721≈26.851，可使用科学22

【思路分析】将实际问题转化为数学问题，（1）AB旋转的最大角度为180°；在△OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB=120°想到作AB边上的高，得到一个含60°角的Rt△OAE和一个非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜边OA=10，可求出OE、AE的长，进而求得Rt△OEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长；（2）雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB、OA为半径的半圆面积之差）. [解]（1）雨刮杆AB旋转的最大解度为180° ．

连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH噗， ∵∠OAB=120°， ∴∠OAE=60° 在Rt△OAE中，

∵∠OAE=60°，OA=10，

∴sin∠OAE=

OEOE=， OA10∴OE=53， ∴AE=5

∴EB=AE+AB=53， 在Rt△OEB中， ∵OE=53，EB=53，