1、二次函数的顶点和对称轴

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年 级：初三 辅导科目：数 课时数：3 课 题 教学目的 二次函数的顶点和对称轴 1、 训练二次函数的顶点坐标公式，顶点坐标的意义和性质 2、 训练二次函数的对称轴的公式，对称轴的意义和性质 教学内容 一、二次函数的顶点 1、二次函数的顶点的意义： （1）顶点横坐标为对称轴，通过顶点横坐标可以得知对称轴 （2）顶点纵坐标为函数的最值，可以得知整个函数的取值范围 （3）通过顶点横坐标可以得出a与b之间的关系，可以把a，b进行代换。例如：顶点坐标为（2,3），隐含意义为x??b2a?2 ，就有b??4a ，通过这个关系我们可以用?4a替换b （4）通过顶点纵坐标可以得出a，b，c之间的关系。 （5）顶点坐标在二次函数的图像上，故可以将它代入解析式中，得到a，b，c系数间的一个等式 2、顶点坐标公式(?b2a,4ac?b4a2)必须背熟牢记。 3、在求二次函数的顶点坐标时，有两种方法，一是顶点公式，二是配方法。根据需要灵活选用。 当a和b比较简单时，一般采用配方法可以更快得到顶点坐标； 当a和b比较复杂时，一般采用公式法可以更快得到顶点坐标 4、熟记常见的各种类型的二次函数的顶点： 函数类型 顶点 y?ax (0,0) 2y?ax2?c y?a(x?h)?k 2y?ax2?bx?c 2(0,c) (h,k) (?b2a,4ac?b4a) 练习： 1、二次函数y?ax?bx?c(a≠0)图象的顶点坐标为 . 2、y=-3x2-5开口方向为_______,对称轴为_______，顶点坐标为_______ 3、y=2（x-1）2+2开口方向为_______,对称轴为_______，顶点坐标为_______ 4、配方法求抛物线y=3x-6x+11的对称轴和顶点坐标 精锐教育网站：www.1smart.org - 1 - 精锐教育· 考试研究院

22 中国领先的个性化教育品牌 5、抛物线y=-12值是_______。 x2-3x+12的开口方向为_______，顶点坐标是_______，对称轴是_______，当x=_______时，有最_______6、写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，灵活选用公式，或配方法 （1）y?x(x?2)?4 （2）y??x2?4x （3）y? 7、二次函数y?ax2?bx?c的顶点为（2,3）， （1）求代数式4a?b的值 （2）求bb14x?x?4 （4）y?214x?2x?4 2的值 （3）求二次函数图像的对称轴 （4）若a＜0，请证明：抛物线y?ax2?bx?c与x轴必有两个不同的交点。 8、二次函数y= - x2+bx+c的图象最高点为（-1，-3），求抛物线与y轴交点坐标。 精锐教育网站：www.1smart.org - 2 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 9、二次函数y=x2-2x+c的顶点在直线y=-2x+1上，求抛物线与y轴的交点。 10、二次函数y=mx2+2x+m-4m2的图象过原点，求抛物线顶点坐标。 11、抛物线y=x2+bx+16的顶点在x轴上，求b 。 12、二次函数y?ax2?bx?c （a＜0 ）的顶点坐标为（1，-1） ，下列说法正确的是（ ） （1）二次函数有最小值，最小值为-1 （2）二次函数有最小值，最小值为1 （3）二次函数有最大值，最大值为-1 （4）二次函数有最大值，最大值为1 13、抛物线y?x?bx?c的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ . 14、若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 15、已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－22 C.15 D.14 14的顶点的横坐标是2，则m的值是_______. 16、已知二次函数y?x?2ax?2a?3，当a 时，该函数y的最小值为０？ 17、已知二次函数y?x?6x?m的最小值为１，那么m＝ 。 18、已知抛物线y?x?2x?8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； 精锐教育网站：www.1smart.org - 3 - 精锐教育· 考试研究院

22 中国领先的个性化教育品牌 （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。 二、二次函数的对称轴 1、对称轴的意义： （1）对称轴即代表顶点的横坐标，通过对称轴可以知道顶点的横坐标 （2）通过对称轴可以知道a和b之间的关系，同（一）中顶点横坐标的作用 （3）对称轴是一条直线，函数图像与这条直线必有一个交点，交点就是顶点。 （4）函数图像关于对称轴对称，意味着在对称轴两侧对称位置上的函数图像上的点函数值相等，横坐标到对称轴的 距离相等。 2、对称轴公式：x?? 3、注意y?ax2和y?ax2?c 的对称轴是Y轴，也就是直线x?0 4、对称轴一般由公式法得到要方便，配方法得到稍微要麻烦些。 练习： 1、若二次函数，当x取，（≠）时，函数值相等，则当x取（A）a+c （B）a-c （C）-c （D）c 2、抛物线y?a(x?1)2?2的一部分如图所示，该抛物线在y轴右 侧部分与x轴交点的坐标是 （A）（ 2b2a 必须牢记，格式要写对 +时，函数值为（ ） y 2 1 12，0） （B）（1，0） （C）（2，0） （D）（3，0） -3 -2 -1 O -1 -2 1 2 3 x 0)，B(3，0)两点，则线段AB的长度为（ ） 3、已知抛物线y?a(x?1)?h(a?0)与x轴交于A(x1， Ａ．1 Ｂ．2 2Ｃ．3 Ｄ．4 y 4、抛物线y??x?bx?c的部分图象如图所示，若y?0，则的取 值范围是（ ） A.?4?x?1 B. ?3?x?1 C. x??4或x?1 D.x??3或x?1 –1 O 3 1 x 精锐教育网站：www.1smart.org - 4 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 5、二次函数y?x?bx?c2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A．x＝4 B. x＝3 C. x＝－5 D. x＝－1。 6、图，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的对称轴是直线x?1，且经过点P（3，0），则a?b?c的值为 A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 y 3 P –1 O 1 3 x 7、知(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,则y1,y2,y3从小到大用 “<”排列是 . 8、二次函数y?ax2?bx?c （a?0)，且b?2a?1，(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数上的三个点，比较y1,y2,y3 的大小. 精锐教育网站：www.1smart.org - 5 - 精锐教育· 考试研究院