专题14：导数与积分（学生用） - 图文

11错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数

f(x)?ex?ln(x?m).

(Ⅰ)设x?0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m?2时,证明f(x)?0.

12错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）已知函数

f?x???1?x??e?2xx31,g?x??ax??1?2xcosx.当x??0,1?时，（I）求证：1-x?f?x??;

21?x （II）若f?x??g?x?恒成立，求实数a的取值范围。

15错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分16分.

设函数f(x)?lnx?ax,g(x)?e?ax,其中a为实数.

(1)若f(x)在(1,??)上是单调减函数,且g(x)在(1,??)上有最小值,求a的取值范围; (2)若g(x)在(?1,??)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.

16错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设函数

xf?x???x?1?ex?kx2(其中

k?R).

(Ⅰ) 当k?1时,求函数f?x?的单调区间; (Ⅱ) 当k??

17错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））已知函数f(x)=a(1-2x-?1?,1?时,求函数f?x?在?0,k?上的最大值M. ?2?1),a为常数且a>0. 2(1) 证明:函数f(x)的图像关于直线x=1对称; 2(2) 若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)?x0,则称x0为函数f(x)的二阶周期点,如果f(x)有两个二阶周期点

x1,x2,试确定a的取值范围;

(3) 对于(2)中的x1,x2和a, 设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.

1x?,2?1?4ax,2

(2)解:当0?a?时,有f(f(x))??

22??4a(1?x),x?1.2所以f(f(x))?x只有一个解x?0,又f(0)?0,故0不是二阶周期点.

1x?,?x,12

当a?时,有f(f(x))??

2?1?x,x?1.2所以f(f(x))?x有解集?x|x???11?1??f(x)?x,又当时,,故x?x|x????中的所有点都不是二阶周期点. 22?2??x?1,4a?4a2x,11??x?,212a?4ax,?4a2当a?时,有f(f(x))??

22?2a(1?2a)?4ax,1?x?4a?1,?4a2?4a2x,24a?4a?1x?.4a2a2a4a22a2a所以f(f(x))?x有四个解0,,又, ,,f(0)?0,f()?221?4a1?2a1?4a1?2a1?2a2a4a22a2a4a4a,,故只有是f(x)的二阶周期点.综上所述,所求a 的f()?,f()?1?4a21?4a21?4a21?4a21?4a21?4a2取值范围为a?1. 22a4a2,x2?(3)由(2)得x1?,

1?4a21?4a2因为x3为函数f(f(x))的最大值点,所以x3?14a?1或x3?. 4a4a当x3?2a?11时,S(a)?.求导得:S'(a)??24a4(1?4a)2(a?1?21?2)(a?)22, 22(1?4a)所以当a?(,11?21?2)时,S(a)单调递增,当a?(,??)时S(a)单调递减;

2228a2?6a?112a2?4a?34a?1当x3?时,S(a)?,求导得:S'(a)?,

4(1?4a2)2(1?4a2)24a12a2?4a?31?0, 因a?,从而有S'(a)?222(1?4a)2所以当a?(,??)时S(a)单调递增.

18错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）设f?x??a?x?5??6lnx,其中a?R,

212曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线与y轴相交于点?0,6?. (1)确定a的值; (2)求函数f?x?的单调区间与极值.

【答案】

??

f(3)?2?6ln3

?x2?2x?a,x?019错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））已知函数f(x)??,其中a是实数.设

?lnx,x?0A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1?x2.

(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2?0,求x2?x1的最小值; (Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.

【答案】解:

???函数f?x?的单调递减区间为???,?1?,单调递增区间为??1,0?,?0,???

????由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f??x1?,点B处的切线斜率为f??x2?,故当点A处的切线与点B

处的切垂直时,有f??x1?f??x2???1.

当x?0时,对函数f?x?求导,得f??x??2x?2. 因为x1?x2?0,所以?2x1?2??2x2?2???1, 所以?2x1?2??0,?2x2?2??0.

1??2x1?2???2x2?2?????2x1?2??2x2?2??1 ???231当且仅当??2x1?2?=?2x2?2?=1,即x1??且x2?时等号成立.

22因此x2?x1?所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,x2?x1的最小值为1

?????当x1?x2?0或x2?x1?0时,f??x1??f??x2?,故x1?0?x2.

当x1?0时,函数f(x)的图象在点x1,f?x1?处的切线方程为

??y??x12?2x1?a???2x1?2??x?x1?,即y??2x1?2?x?x12?a

当x2?0时,函数f(x)的图象在点x2,f?x2?处的切线方程为

??y?lnx2?11?x?x2?,即y??x?lnx2?1. x2x2?1??2x1?2 ①两切线重合的充要条件是?x2

?lnx?1??x2?a ②?21由①及x1?0?x2知,?1?x1?0. 由①②得,a?x12?ln21?1?x12?ln?2x1?2??1.

2x1?2设h?x1??x1?ln?2x1?2??1(?1?x1?0), 则h??x1??2x1?1?0. x1?1所以h?x1???1?x1?0?是减函数. 则h?x1??h?0???ln2?1, 所以a??ln2?1.

又当x1?(?1,0)且趋近于?1时,h?x1?无限增大,所以a的取值范围是??ln2?1,???. 故当函数f(x)的图像在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是??ln2?1,???

20错误！未指定书签。．（2013年高考湖南卷（理））已知a?0,函数f(x)?x?a.

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