四川大学离散数学（冯伟森版）课后习题答案习题6

习题6.1 解： （1）、全函数 （2）、不符合单值 （3）、全函数 2.解：

(1) {(n1,n2)|n1, n2 (N, 0<2 n1-n2<5}

不是函数，n1=0时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。 (2) {(n1,n2)|n1, n2 (N, n2是n1的正因子个数} 部分函数，n1=0时无定义

(3) {(S1,S2)|S1, S2 ({a,b,c,d}且 S1 ( S2= (} 不是函数，因为({a},{b}) ,({a},{c})均在其中。 (4) {(a, b)|a, b (N, gcd(a,b)=3}

不是函数，因为(3, 3) ,(3, 6), (3, 9)均在其中。 (5) {(x, y)|x, y (Z, y=x2}

全函数 4、解:

可以定义nn个二元关系，n！个全函数 5.解：

(fog)(x) = 2 x2+2x-2

(gofoh)(x) = (g(f(h(x))) = … = 4(x-2)2+2(x-2)-1 (hohog)(x) = (h(h(g(x))) = … = x2+x-5

6.解：

（1）∵f=g，则对于所有x(A，都有f(x)=g(x),

所以，对于所有的x(A，h(f(x))=h(g(x)),f(h(x))=g(h(x))即h。f=h。g （2）∵h。f=h。g则，h(f(x))=h(g(x)),

当对于A中任意两个不同的元素x,y都有h(x)≠h(y)时，f=g；

当A中存在两个不同的元素x,y有h(x)=h(y)，即对于同一个元素z,当f(z)=x ,g(z)=y，则有h(f(z))=h(g(z))，而此种情况下f≠g

综上，当h。f=h。g时，f不一定等于g 7.

证明：b(f(A)-f(C)(b(f(A)(b(f(C) (((x)[x(A(x(C(f(x)=b] (((x)[x(A-C(f(x)=b] (b(f(A-C) 所以f(A)-f(C)(f(A-C) 8.证明：

（1）y∈f(A∪B)

(((x)[x∈(A∪B)∧f(x)=y]

(((x)[x∈A∧f(x)=y]∪((x)[x∈∪B∧f(x)=y] (y∈f(A)∪y∈f(B) ∴f(A∪B)=f(A)∪f(B)

（2）y∈f(A∩B)

(((x)[x∈(A∩B)∧f(x)=y]

(((x)[x∈A∧f(x)=y]∩((x)[x∈B∧f(x)=y] (y∈f(A)∩y∈f(B) ∴f(A∩B)(f(A)∩f(B) 习题6.2 1.解：

确定下列映射是否单射、满射或双射： (1)f:N →R, f(n)=ln n 单射

(2)f:N →N, f(n)为不超过n的素数数目 满，非单。如f(5)=f(6)=3

(3) f:N (N →N, f(n1,n2)=(n1+1) n2

非单,非满。f(0,1)=f(1,0)=1,且f(x,y)=0无解。 (4)f:R →R, f(x)=x2+2x-15 非单,非满。 (5) f:Z →Z, f(x)=1+2x3 单,非满。 1+2x3=5无解。

(6)A是集合， f:2A ( 2A→2A ( 2A, f(x,y)=(x ( y,x ( y) 非单: ({a}({b}, {a}({b}) = ({a,b}( (, {a,b}( () 非满: (x ( y,x ( y)=({a}, {a,b})无解。 (7) f7:R ( R→R, f7(x,y)=x+y 非单,满. f(1,3)=f(2,2) f8:R ( R→R, f8(x,y)=xy 非单,满. f(1,3)=f(3,1) 2.证明：

(1).当f是单射时，根据单射定义，对所有t,s∈X,当t≠s时，f(t)≠f(s),则f(x)中的元素个数与X中的元素个数相同；

又∵f:X→X，所以，f(x)是一个满射 ∴f必是双射。

(2)当f是满射时，根据满射定义及f的定义，对所有y∈X，都存在x∈X，使f(x)=y，再根据函数的单值性，对所有t,s∈X,当t≠s时，f(t)≠f(s)。 ∴f必是双射。 3. 证明：

设x,y是有限集X上的2个元素，如果f(x)=f(y),则x= f2(x)= f2(y)= y ，说明是单射，由上题结果知f是双射。 4、证：

5.解：

设A、B中元素个数分别为：m、n,则单射个数为：n(n-1)(n-2)…(n-m) 满射个数为：nm,双射个数为：n!或m!，即m=n?????????????

6.解：f。g=(2x-1)2 +2,函数图形为以x=1/2为对称轴的一个抛物线，由题，f,g都是实数上的

函数，则f。g不是单射，不是满射，也不是双射；

g。f=2(x2+2)-1=2x2+3,函数图形为以Y坐标为对称轴的抛物线，f(x)=f(-x)，所以，g。f不是单射，不是满射，也不是双射。 7、证： 习题6.4:

3．证明：非空有限集A与可数集B的笛卡尔积A×B也是可数集。 证明：设A={a1,a2,…,an｝ B={b1,b2,…,bn,…}

令Bi ={(ai,b1),(ai,b2),…,(ai,bn),…} (i≤n),则 A×B= ,

因为B为可数集，所以Bi为可数集。A×B为有限个可数集的并集。下面用归纳法证明有限个(m个)可数集的并集为可数集。 设Cm={cm1,cm2, …,cmn, …} 当m=2时，

构造双射f:N→C1∪C2,

N 1 2 3 4 5 6 … n-1 n …

f(N) c11 c21 c12 c22 c13 c23 … c1(n/2) c2(n/2) …

所以2个可数集的并集为可数集。

假设m=k-1(k≥3)时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D。

则m=k时，可以构造类似的双射g:N→D∪Ck,所以为可数集。因而有限个可数集的并集为可数集。所以A×B是可数集。 习题6.2 4、证：

7、证： 习题6.4:

3．证明：非空有限集A与可数集B的笛卡尔积A×B也是可数集。 证明：设A={a1,a2,…,an｝ B={b1,b2,…,bn,…}

令Bi ={(ai,b1),(ai,b2),…,(ai,bn),…} (i≤n),则 A×B= ,

因为B为可数集，所以Bi为可数集。A×B为有限个可数集的并集。下面用归纳法证明有限个(m个)可数集的并集为可数集。 设Cm={cm1,cm2, …,cmn, …} 当m=2时，

构造双射f:N→C1∪C2,

N 1 2 3 4 5 6 … n-1 n …

f(N) c11 c21 c12 c22 c13 c23 … c1(n/2) c2(n/2) … 所以2个可数集的并集为可数集。

假设m=k-1(k≥3)时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D。

则m=k时，可以构造类似的双射g:N→D∪Ck,所以为可数集。因而有限个可数集的并集为可数集。所以A×B是可数集。