高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4

第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性

学习目标：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数 周期 最小正周期 奇偶性 y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0) 2π 奇函数 [基础自测] y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0) 2π 偶函数 1．思考辨析 (1)若sin?

?2π＋π?＝sinπ，则2π是函数y＝sin x的一个周期．( )

?6?63?3

(2)所有的周期函数都有最小正周期．( ) (3)函数y＝sin x是奇函数．( ) [解析] (1)×.因为对任意x，sin?

?2π＋x?与sin x并不一定相等．

?

?3?

(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f(x)＝5是周期函数，就不存在最小正周期．

(3)×.函数y＝sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶．

[答案] (1)× (2)× (3)× π??2．函数y＝2sin?2x＋?是( )

2??A．周期为π的奇函数 C．周期为2π的奇函数

B．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数

π??B [y＝2sin?2x＋?＝2cos 2x，它是周期为π的偶函数．] 2??

1

3．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________. 6 [由已知得f(x＋2)＝f(x)， 所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

求下列函数的周期： π??(1)y＝sin?2x＋?； 4??

(2)y＝|sin x|. 【导学号：84352085】

三角函数的周期问题及简单应用 [思路探究] (1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立． 法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算． (2)作函数图象，观察出周期．

π??[解] (1)法一：(定义法)y＝sin?2x＋?

4??π???＝sin?2x＋＋2π?＝sin?2

4???所以周期为π.

π?2π2π?法二：(公式法)y＝sin?2x＋?中ω＝2，T＝＝＝π.

4?ω2?(2)作图如下：

πx＋π＋??，

4?

观察图象可知周期为π.

[规律方法] 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，

ω≠0)的函数，T＝2π

. |ω|

(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．

提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝[跟踪训练]

1．利用周期函数的定义求下列函数的周期． (1)y＝cos 2x，x∈R；

π. |ω|

?1π?(2)y＝sin?x－?，x∈R.

4??3

2

[解] (1)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.

(2)因为sin?

?1x＋6π－π?

4??3?

π??1?1π??1π?＝sin?x＋2π－?＝sin?x－?，由周期函数的定义知，y＝sin?x－?的周期为

?34??34??34?6π.

三角函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin???－12

x＋π?2??；

(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； 2

(3)f(x)＝1＋sin x－cosx1＋sin x.

[思路探究]

[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cos1

2x，

∵f(－x)＝cos??1?－12x???＝cos2x＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．

(2)由???

1－sin x＞0，

?1＋sin x＞0，得－1＜sin x＜1，

?

??解得定义域为??x?π

?

??x∈R且x≠kπ＋，k∈Z

??

?2

?， ?

∴f(x)的定义域关于原点对称．

又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)， ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．

(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，

3

π

∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.

2∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．

[规律方法] 1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系．

2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． [跟踪训练]

2．判断下列函数的奇偶性：

?3?2

(1)f(x)＝cos?π＋2x?＋xsin x；

?2?

(2)f(x)＝1－2cos x＋2cos x－1. [解] (1)f(x)＝sin 2x＋xsin x，

又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)sin(－x) ＝－sin 2x－xsin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．

??1－2cos x≥0，

(2)由?

??2cos x－1≥0，

2

2

2

1

得cos x＝，

2

π

∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，

3∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

三角函数的奇偶性与周 [探究问题] 1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？

期性的综合应用 提示：奇函数有y＝2sin x，y＝sin 2x，y＝5sin 2x，y＝sin xcos x等．偶函数有y＝cos 2x＋1，y＝3cos 5x，y＝sin x·sin 2x等．

2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2 018)的值是多少？ 提示：f(2 018)＝f(0＋1 009×2)＝f(0)＝0.

(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A．y＝cos|2x|

B．y＝|sin 2x| D．y＝cos?

?π?C．y＝sin?＋2x? ?2?

?3π－2x?

?

?2?

4