空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

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二、填空题：

6．已知正方体的内切球的体积是43π，则这个正方体的体积是______．

7．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则直线AB1

和BC1所成角的余弦值是______． 8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______． 9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于

27、43，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．

10．已知AABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角．在折起后形成的三棱锥A－BCD中，有如下三个结论： ①直线AD⊥平面BCD； ②侧面ABC是等边三角形；

③三棱锥A－BCD的体积是

23a. 24其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：

11．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝AA1．

(Ⅰ)求证：AD⊥B1D；

(Ⅱ)求证：A1C∥平面A1BD；

(Ⅲ)求二面角B－AB1－D平面角的余弦值．

12．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝1，M为

PC的中点．

(Ⅰ)求证：平面PCB⊥平面MAB；

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(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积．

13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M、N分别是

A1C1、BC1的中点．

(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C； (Ⅱ)求证：MN∥平面A1ABB1； (Ⅲ)求三棱锥M－BC1B1的体积．

14．在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD?＝2．点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°．

2，DC＝SD

(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；?

(Ⅱ)求二面角S－AM－B的平面角的余弦值．

练习1-3

一、选择题：

1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：

5．60° 6．2 7．

24 8．

45三、解答题：

9．以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D－xyz．

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依题设，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．

DE?(0,2,1),DB?(2,2,0), A1C?(?2,2,?4),DA1?(2,0,4).

(Ⅰ)∵A1C?DB?0,A1C?DE?0,∴A1C⊥BD，A1C⊥DE． 又DB∩DE＝D，∴A1C⊥平面DBE．

(Ⅱ)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则n?DE,n?DA1.

?2y?z?0,∴?令y＝1，得n＝(4，1，－2)．

2x?4z?0.?cos(n,A1C)?n?A1C|n||A1C|?1414?∴二面角A1－DE－B平面角的余弦值为42? 4210．作AP⊥CD于点P．如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系．

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0,222,0),D(?,,0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，22222,,0)? 4422222,,?1),OP?(0,,?2),OD?(?,,?2)? (Ⅰ)MN?(1?44222N(1?设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n?OP?0,n?OD?0,

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