广东高考（理科）数学立体几何（面角）专题汇编 - 图文

A1B?(?3,3,?1),|A1B|?7CB1?(0,3,1),|CB1|?2

?227?77cos?A1B?CB1??A1B?CB1|A1B||CB1|

7异面直线A1B与CB1所成的角的余弦值为7………………7分

（Ⅱ）解法一：∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=90°，∴BC⊥CA1，BC⊥CC1 ∴∠A1CC1是二面角A1－BC－C1所成的平面角 在RtΔA1C1C中，可求∠A1CC1=60°………9分

假设存在这样的点Q，使得面QBC与面A1BC成30°角．

在平面A1B1C1中过点Q作QP∥B1C1，交A1C1于P，连PC，则P．Q．B．C共面 ∴∠A1CP就是Q—BC—A1的平面角为30°…………………12分 ∵30°<60°，故存在点P，在角A1CC1的平分线上

PC1?363，又A1B1=6，由相似比可求得QB1=3，

在RtΔPC1C中，可得

626∴Q在距点A13处（或距B1点3处）……14分

解法二：假设存在这样的点Q，使得面QBC与面A1BC成30°角．

??????????????????A1B1?(?3,3,0)，CA1?(3,0,1)，设AQ??A1B1， 1????????????????CQ?CA1?AQ?((1??)3,3?,1)，又CB?(0,3,0)，…………………8分 1则

???????n?CQ???(1??????)3x?3?y?z?0???1n1?CB?3?y?0n?(x,y,z)，则?设面QBC的法向量为1，取x=1，有

??n1?(1,0,(??1)3)，…………………10分

???n?(x,y,z)，

同理设面A1BC的法向量为2??????????n?CB?3y?0?????2????n?CA1?3x?z?0n?(1,0,?3)，…………………12分 由?2，取x=1，有2?????n1?n24?3?3?2?cos30????????2??2n1?n223(??1)?13 ，求出

26∴Q在距点A13处…………14分

19.（1）证明：当E为BC的中点时，EC?CD?1，

从而?DCE为等腰直角三角形，则?DEC?45?

25 / 27

同理可得?AEB?45?

??AED?90?，即DE?AE ………2分 又PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE

又?PA?AE?A，?DE?平面PAE ………5分

z

?PE?DE ………6分

（2）解：如图，以A为原点，以AB,AD,AP所在直线为

x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设BE?a(0?a?2)，

y

则P(0,0,1),E(1,a,0),D(0,2,0). 所以PD?(0,2,?1),DE?(1,a?2,0)

由已知易知平面AED的一个法向量为AP?(0,0,1)， 设平面PED的法向量为n?(x,y,z)，则

x

??n?PD?2y?z?0 ???n?DE?x?(a?2)y?0?z?2y??

x?(2?a)y? 令y?1，则n?(2?a,1,2) ………

9分

所以

cos?4?cos?AP,n??AP?n|AP||n|?21?(2?a)2?1?4?2 ……211分

解得：a?2?3（舍去），或a?2?3 ………13分 所以点E为线段BC距B点的2?3处. ………14分

20. 解：(1)因为A1A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1A⊥BC. 因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC. 又AC?A1A?A，所以BC⊥平面A1ACC1，

而BC?平面B1BCC1，平面A1ACC1⊥平面B1BCC1。……6分 (2)①设圆柱的底面半径为r，则AB＝AA1＝2r，

1

故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V1＝AC·BC·2r＝AC?BC?r.

2

26 / 27

又因为AC2＋BC2＝AB2＝4r2.

AC2＋BC2

所以AC·BC≤＝2r2，当且仅当AC＝BC＝2r时等号成立.

2V12r31

从而V1≤2r3，而圆柱的体积V＝πr2·2r＝2πr3，故p＝≤＝，

V2πr3π当且仅当AC＝BC＝2r，即OC⊥AB时等号成立. 1

所以p的最大值等于.……10分

π

②由①可知，p取最大值时，OC⊥AB. 于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz(如图)，则C(r,0,0)，B(0，r,0)，B1(0，r,2r).因为BC⊥平面A1ACC1， 所以BC＝(r，－r,0)是平面A1ACC1的一个法向量.设平面B1OC的法向量n?(x,y,z)，

??x?0?n?OC?rx?0由?得?故?ry?2rz?0?y??2z??n?OB1?

取z＝1，得平面B1OC的一个法向量为n?(0,?2,1)

0???因为

?2所以cos θ＝|cos〈n，BC〉|＝|n|?|BC|＝|

|n?BC|2r10|＝.……14分

55×2r

27 / 27