广东高考（理科）数学立体几何（面角）专题汇编 - 图文

（Ⅲ）在平面ABB1中过点B作BE?AB1于E，连结EC， ∵CB?AB，CB?BB1，

∴CB?平面ABB1，又AB1?平面ABB1， ………………9分 ∴CB?AB1，又BE?AB1，且CB?BE?B，

∴AB1?平面EBC，而EC?平面EBC， …………………10分∴AB1?EC．∴?BEC是二面角

B?AB1?C的平面角． ………12分在Rt?BEC中，BE??23，BC?2 3?∴tan?BEC?3，?BEC?60，∴二面角B?AB1?C的大小为60．………14分

解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接D1O，则点O(1,1,0)、D1(0,0,2)，

?????∴OD1?(?1,?1,2)又点B(2,2,0)，M(1,1,2)， ?????∴BM?(?1,?1,2)

??????????∴OD1?BM，且OD1与BM不共线，

∴OD1//BM．

又D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC，

∴BM//平面D1AC． …………………………………4分

??????????????????（Ⅱ）∵OD1?OB1?(?1,?1,2)?(1,1,2)?0，OD1?AC?(?1,?1,2)?(?2,2,0)?0 ??????????????????∴OD1?OB1，OD1?AC，即OD1?OB1，OD1?AC，

又OB1?AC?O，∴D1O?平面AB1C． ………8分

????（Ⅲ）∵CB?AB，CB?BB1，∴CB?平面ABB1，∴BC?(?2,0,0)为平面ABB1的法向量．

????????????????????????????????1∵OD1?OB1，OD1?AC，∴OD1?(?1,?1,2)为平面AB1C的法向量．∴cos?BC,OD1??，

2???????????∴BC与OD1的夹角为60，即二面角B?AB1?C的大小为60．…14分 （Ⅲ）（法三）设二面角B?AB1?C的大小为?，?AB1C在平面AB1B内的射影就是?AB1B，根据射影面积公式

S?AB1B11可得cos??，S?AB1B??AB?B1B?2，S?AB1C??AC?B1O?22 22S?AB1C∴cos??S?AB1BS?AB1C?21?，∴二面角B?AB1?C的大小为60? ……………14分 2229 / 27

4.证明：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=22， ∴AB=2，ABCD为正方形，

因此BD⊥AC. ………………（2分） ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥PA . 又∵PA∩AC=A

∴BD⊥平面PAC. ……………… （4分）

A P D

C

解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角. ……………（7分） 又∵PA=AD，∴∠PDA=450 . ………………（9分） （Ⅲ）∵PA=AB=AD=2∴PB=PD=BD=22

11设C到面PBD的距离为d，由VP?BCD?VC?PBD，有?S?BCD?PA??S?PBD?d………(12分)

33211113 ……………(14分) 即??2?2?2??(22)2?sin600?d，得d?33232法二：空间向量。答案略

5．解法一：∵AB?AC，D是BC的中点，∴AD?BC.又平面CC1B1B?平面ABC， 平面CC1B1B?平面ABC=BC，则AD?平面CC1B1B.∴AD?B1F，在矩形CC1B1B中

tan?C1B1F?tan?CFD?1，∴?C1B1F??CFD，?C1FB1??CFD??C1FB1??C1B1F?90?，因此2FD?B1F ∴B1F?平面ADF

解法二：以D为坐标原点，DA、DB、DD1分别为

zC1A1FB1，易知 x 、y、z轴建立空间直角坐标系（D1是C1B1的中点）

A(22a,0,0),B(0,a,0),F(0,?a,2a), B1(0,a,3a),

B1F?(0,?2a,?a), DF?(0,?a,2a),DA?(22a,0,0),

由B1F?DF?0且B1F?DA?0，得B1F?DF, B1F?DA, 即得B1F?平面ADF；

CDBxAy10 / 27

解（II）：由（1）知BA?(22a,?a,0)，设平面AA1B1B的一个法向量为n?(x,y,0)，则BB1?n?0BB1?(0,0,3a)，且BA?n?0，可取n?(a,22a,0)，

??????410410BF?n由cos?B1F,n?? 1=-，即所求二面角的余弦值是.

1515|B1F||n|6.（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

?AC2?BC2?AB2 ∴ AC⊥BC， …………………2分

又 AC⊥C1C，且BC?C1C?C∴ AC⊥平面BCC1 ，又BC1?平面BCC1 ∴ AC⊥BC1………………………5分 （Ⅱ）解法一：取BC中点E，过D作DF?B1C于F，连接EF …………6分

?D是AB中点，

∴DE//AC ，又AC?平面BB1C1C

C1B1∴DE?平面BB1C1C，

又?EF?平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C ∴DE?EF

A1∴B1C?DE 又?DF?B1C且DE?DF?D

F∴BC?平面DEF，EF?平面DEF …8分 CE1B∴B1C?EF 又?DF?B1C

D∴?EFD是二面角D?BA1C?B的平面角

?AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴在?DEF中，DE?EF，DE?32，EF?2 3∴tan?EFD?DE32EF?22?4 …………………………………………12分 z∴二面角D?B321C?B的正切值为4

C1B1解法二：以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系

A1?AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴A(3，0，0)，B(0，4，0) C(0，0，0)，D(32，2，0)，B1(0，4，4)， CBy∴???CD??(3D2，2，0)，???CB?1?(0，4，4) A?x平面CBB的法向量n?1C11?(1，0，0)， ………………8分

设平面DB?n??1C的法向量2?(x0，y0，z0)，

则??n???1，n2的夹角（或其补角）的大小就是二面角D?CB1?B的大小 …………9分

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????????3?????n2?CD?0?x0?2y0?0则由??? 令x0?4，则y0??3，z0?3∴ n2?(4,?3,3) ??2?????

?n2?CB1?0?4y?4z?0?0?0???????????????32n1?n24??，则tan?n1， ……………12分 n2??cos?n1，n2??????4|n1|?|n2|34∵二面角D?B1C?B是锐二面角∴二面角D?B1C?B的正切值为

32 …13分 47.解：（1）由三视图可知，AC?BC?CE?4,BD?2，且AC、BC、CE两两互相垂直。 ∴几何体A—BCED的体积V?1?SBCED?AC?16 （6分） 3（2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE ∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角． （10分）

858122，∴AG?4?(5)2?5． 555CG22?．∴二面角A-ED-B的的余弦值为． （14分） ∴cos?AGC?AG33?????方法二：（坐标法）（2）平面BDE的一个法向量为CA?(4,0,0)，（8分）设平面ADE的一个法向量为n?(x,y,z)，

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，ＣG=????????????????????????????n?AD,n?DE,AD?(?4,4,2),DE?(0,?4,2)，∴n?AD?0,n?DE?0 ?从而?4x?4y?2z?0,?4y?2z?0,令y?1，则n?(2,1,2)，（12分）

?????2显然二面角A-ED-B是锐二面角，设其平面角为?，则cos??cos?CA,n??

32∴二面角A-ED-B的的余弦值为．（14分）

38.解:由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC—A1B1C1，侧面B1C1CB

为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB?BC,AB?BC?2………２分（1）连BC交B1CA 于O，

A1 连接OD，在?CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，?OD//AB1 而AB1?平面BDC1，OD?平面BDC1，?AB1//平面BDC1…４分 （2）直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1?平面ABC，BD?平面ABC， ?AA1?BD，?AB?BC?2，D为AC的中点，?BD?AC， ?BD?平面AA1C1C，?BD?A1C①………………..６分

又A1B1?B1C1,A1B1?B1B，?A1B1?平面B1C1CB,?A1B1?BC1 在正方形

B1 C1

D

B

O C

B1C1CB中BC1?B1C,又B1C,A1B1?平面A1B1CB1C?A1B1?B1,?BC1?平面A1B1C,?BC1?A1C12 / 27