广东高考（理科）数学立体几何（面角）专题汇编 - 图文

14.如图，在长方体（1）证明：

ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，点E在棱AB上移动．

D1E?A1D；

ACD1的距离；

（2）当E点为AB的中点时，求点E到平面

?D?EC?D的大小为4？

（3）AE等于何值时，二面角1

15.如图，在三棱锥P?ABC中，PA?底面ABC,PA?AB,?ABC?60?,?BCA?90?， 点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC?平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值； （Ⅲ）是否存在点E使得二面角A?DE?P为直二面角？并说明理由.

PC16.在四棱锥P?ABCD中，侧面PCD?底面ABCD，PD?CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，?ADC?90?，AB?AD?PD?1，CD?2． （Ⅰ）求证：BC?平面PBD；

D????????（Ⅱ）设Q为侧棱PC上一点，PQ??PC，试确定?的值，使得二面角Q?BD?P的大小为45?．

17.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?1，E为CD中点. （1）求证：B1E?AD1；

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AB（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP//平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由. （3）若AB＝2，求二面角B?AE?B1的平面角的余弦值。

18．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=3，AA1=1，∠ACB=90°． （Ⅰ）求异面直线A1B与CB1所成角的余弦值；

（Ⅱ）问：在A1B1边上是否存在一点Q，使得平面QBC与平面A1BC 所成的角为30°，若存在，请求点Q的位置，若不存在，请说明理由．

C1B1A1CAB19.如图，四边形ABCD为矩形,且AD?2,AB?1, PA?平面ABCD,E为BC上的动点.

(1)当E为BC的中点时,求证：PE?DE； (2)设PA?1，在线段BC上有这样的点E，使得 二面角P?ED?A的大小为

20.圆柱

?，试确定点E的位置. 4OO1内有一个三棱柱ABC?A1B1C1三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径.

(1)求证：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；

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OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC?A1B1C1内的概率为p. 1，在圆柱(2)设AB?AA①当点C在圆周上运动时，求p的最大值； ②记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为求cos?的值。

?(0????)2。当p取最大值时，

立体几何（二面角）专题(理科)参考答案

1.（1）因为四边形ABCD为等腰梯形，AB?CD，?DAB?60， ∴?ADC??BCD?120．又CB?CD，∴?CDB?30

0∴?ADB?90，AD?BD，…………3分

000又AE?BD，且AE?AD?A，AE，AD?平面AED，………………5分 ∴BD?平面AED．………………6分

（2）由（1）知AD?BD，所以AC?BC，又FC?平面ABCD，

因此 CA，CB，CF两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设CB?1，则，

C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(31,?,0)，F(0,0,1) 22????????33,?,0)，BF?(0,?1,1)．……………………9分 ∴BD?(22????????m?BD?0设平面BDF的一个法向量为m?(x,y,z)，则?????， ???m?BF?0?∴x?3y?3z，取z?1，则m?(3,1,1)………………………………11分

?又平面BDC的法向量可以取为n?(0,0,1)，………………12分

??m?n15??∴cos?m,n?????，……………………13分 ?mn55∵二面角F?BD?C为锐二面角，∴二面角F?BD?C的余弦值为5…………14分 5（传统方法）取BD的中点G，连结CG,FG，由于CB?CD，所以CG?BD．

又FC?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以FC?BD．由于FC?CG?C，FC,CG?平面FCG，所以

BD?平面FCG，故BD?FG．

所以?FGC为二面角F?BD?C的平面角．………………………………11分 在等腰三角形BCD中，由于?BCD?120?，

因此CG?1CB，又CB?CF，所以CF?CG2?CF2?5CG，故cos?FGC?5, 257 / 27

因此 二面角F?BD?C的余弦值为5．……………………14分

5

????????????2.证明：（1）以AD,AC,AP为x,y,z正半轴方向，建立空间直角左边系A?xyz 11,,0),P(0,0,2) 22???????????????? PC?(0,1,?2),AD?(2,0,0)?PC?AD?0?PC?AD ------4分

则D(2,0,0),C(0,1,0),B(??????????（2）PC?(0,1,?2),CD?(2,?1,0)，设平面PCD的法向量n?(x,y,z)

????????y?2z?0?y?2z?n?PC?0 则????? 取z?1?n?(1,2,1) ?????CD?0?2x?y?0?x?z??n????? AD?(2,0,0)是平面PAC的法向量

???????????????AD?n630 cos?AD,n????? ?sin?AD,n?????66ADn30------9分

6 ????11????????（3）设AE?h?[0,2]；则AE?(0,0,2)，BE?(,?,h),CD?(2,?1,0)

22????????????????BE?CD331010 cos------14分 ?BE,CD?????????????h? 即AE?210210BECD10?2h0 得：二面角A?PC?D的正弦值为3.解:（Ⅰ）连接D1O，如图，∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形， ∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O//BM． …2分 ∵D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC， ∴BM//平面D1AC．………………………… 4分

（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，BB1?2， ∴B1D1?22，OB1?2，D1O?2，

则OB1?DO?B1D1，∴OB1?D1O． ……6分 1∵在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AC?BD，AC?D1D， ∴AC?平面BDD1B1，又D1O?平面BDD1B1， ∴AC?D1O，又AC?OB1?O，

∴D1O?平面AB1C． ………………8分

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