高中数学第一章不等关系与基本不等式测评北师大版选修2

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15.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是 .

解析:由绝对值不等式的意义可得a+≤4,所以答案:(-∞,0)∪{2}

≤0,解得a的取值范围为(-∞,0)∪{2}.

16.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器.设计最大下潜深度为7 000米级.6月24日,“蛟龙号”载人潜水器7 000米海试在西太平洋马里亚纳海沟进行了第四次下潜试验.“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s(米)与时间t(分钟)之间的关系满足关系式为s=0.2t-14t+2 000,那么平均速度的最小值是 .

2

解析:平均速度为v(t)==0.2t+-14≥2-14=2×20-14=26,当且仅当

0.2t=答案:26

,即t=100时,取得最小值.

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|

(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.

解(1)因为∈A,且?A,所以

又a∈N+,所以a=1.

(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,

当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时取到等号.故f(x)的最小值为3. 18.(本小题满分12分)(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x+1)(x+1)≥8x.

(2)若x∈R,不等式(x+1)(x+1)(x+1)≥8x是否依然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请举出一个使它不成立的x值.

(1)证明x是正实数,由平均值不等式知

2

3

3

2

3

3

x+1≥2

2

,1+x≥2x,1+x≥2

3

23

,

故(x+1)(x+1)(x+1)≥2·2x·2=8x3(当且仅当x=1时,等号成立).

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(2)解若x∈R,不等式(x+1)(x2

+1)(x3

+1)≥8x3

依然成立.

证明如下:由(1)知,当x>0时不等式成立.

当x≤0时,8x3

≤0,又(x+1)(x2

+1)(x3

+1)=(x+1)2

(x2

+1)(x2

-x+1)=(x+1)2(x2+1)·≥0,故此时不等式依然成立.

19.(本小题满分12分)已知正数a,b,c满足a+b+c=6,求证:证明由已知及平均值不等式可得≥3

=

=

≥

,

当且仅当a=b=c=2时等号成立. 故原不等式成立. 20.导学号35664028(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-1|.

(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;

(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f.

(1)解f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=

当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5; 当-3≤x≤1时,4≤8不成立; 当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.

所以原不等式的解集为{x|x≤-5或x≥3}.

(2)证明f(ab)>|a|f,即|ab-1|>|a-b|.

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.

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因为|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|-|a-b|=(ab-2ab+1)-(a-2ab+b)=(a-1)(b-1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.故原不等式成立. 21.导学号35664029(本小题满分12分)已知x,y,z∈R+,x+y+z=3.

2

2

22

2

2

2

2

(1)求的最小值;

2

2

2

(2)证明:3≤x+y+z<9.

(1)解因为x+y+z≥3>0,>0,所以(x+y+z)≥9,即≥3,当且仅

当x=y=z=1时,(2)证明x+y+z=

2

2

2

取得最小值3.

≥

当且仅当x=y=z时等号成立.

=3,

又x+y+z-9=x+y+z-(x+y+z)=-2(xy+yz+zx)<0,所以3≤x+y+z<9. 22.导学号35664030(本小题满分12分)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.

(1)求f(x)>x的解集;

2222222222

(2)若a+b=1,对?a,b∈(0,+∞),≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围.

解(1)f(x)=|2x-1|-|x+1|,当x<-1时,f(x)>x,得1-2x+x+1>x,解得x<-1;

当-1≤x≤时,f(x)>x,得1-2x-x-1>x,解得-1≤x<0;

当x>时,f(x)>x,得2x-1-(x+1)>x,解得-2>0无解;

综上可知x<0,即f(x)>x的解集为{x|x<0}.

(2)f(x)=

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画出图像如图所示:

因为a,b∈(0,+∞),且a+b=1,所以

(a+b)=5+立.

≥5+2=9,当且仅当a=,b=时等号成

由围是[-7,11].

≥|2x-1|-|x+1|恒成立,得|2x-1|-|x+1|≤9,结合图像知-7≤x≤11,故x的取值范

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