2017-2018学年高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例检测新人教B版必修3

1.3 中国古代数学中的算法案例

课后篇巩固探究

1.秦九韶算法能解决下列问题中的( ) A.求两个正整数的最大公约数 B.多项式求值

C.进位制的转化计算 D.排序问题 答案:B 2.284和1 024的最小公倍数是( ) A.1 024 B.142 C.72 704 D.568 答案:C 32

3.用秦九韶算法求多项式f(x)=x-3x+2x-11当x=x0时的值时,应把f(x)变形为( ) 3

A.x-(3x+2)x-11

2

B.(x-3)x+(2x-11) C.(x-1)(x-2)x-11 D.((x-3)x+2)x-11 答案:D 23456

4.用秦九韶算法求多项式f(x)=2+0.35x+1.8x-3.66x+6x-5.2x+x在x=-1.3时,令v0=a6,v1=v0x+a5,…,v6=v5x+a0时,v3的值为( ) A.-9.820 5 B.14.25 C.-22.445 D.30.978 5 答案:C 5.导学号17504013下面程序的目的是( ) a=input(“a=”); b=input(“b=”); while a<>b if a>=b a=a-b; else b=b-a; end end print(%io(2),a); A.求a/b的余数 B.求a,b的最小公倍数 C.求a被b整除的商 D.求a,b的最大公约数

解析:先看循环条件,当a≠b时,循环体的内容是作差(大数-小数),当a=b即差和减数相同时,退出循环,算法与更相减损之术相同. 答案:D 23456

6.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x+79x+6x+5x+3x在x=-4的值时,其中v1的值为 .

解析:由题意知v0=3,v1=3×(-4)+5=-7. 答案:-7 7.导学号17504014在下面程序框图中,若输入m=333,n=1 813,则输出结果为 .

解析:该程序框图的功能就是用“更相减损之术”求m与n的最大公约数.由于1 813-333=1 480,1 480-333=1 147,1 147-333=814,814-333=481,481-333=148,333-148=185,185-148=37,148-37=111,111-37=74,74-37=37,于是333和1 813的最大公约数是37,故输出结果为37,37. 答案:37,37 2456

8.已知f(x)=2-3x-2x+3x-4x+x,用秦九韶算法求f(2)的值.

2456

解:f(x)=2-3x-2x+3x-4x+x

=x6-4x5+3x4+0·x3-2x2-3x+2

=(((((x-4)x+3)x+0)x-2)x-3)x+2. 于是v0=1,v1=1×2-4=-2,

v2=(-2)×2+3=-1,v3=(-1)×2+0=-2, v4=(-2)×2-2=-6,v5=(-6)×2-3=-15, v6=(-15)×2+2=-28. 故f(2)=-28.

9.有甲、乙、丙三种溶液,分别重150 kg,135 kg,80 kg.现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的质量相同.问:每小瓶最多装多少千克溶液? 解:先求135,80的最大公约

数,(135,80)→(55,80)→(55,25)→(30,25)→(5,25)→(5,20)→(5,15)→(5,10)→(5,5);再求5与150的最大公约数,显然为5.

故150,135,80的最大公约数为5,即每小瓶最多可装5 kg溶液.

nn-1

10.导学号17504015已知n次多项式Pn(x)=a0x+a1x+…+an-1x+an,如果在一种算法中,计算(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,

(1)计算P3(x0)的值需要9次运算(6次乘法,3次加法),则计算Pn(x0)的值需要多少次运算?

(2)若采取秦九韶算法:P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k=0,1,2,…,n-1),计算P3(x0)的值只需6次运算,则计算Pn(x0)的值共需要多少次运算?

(3)若采取秦九韶算法,设ai=i+1,i=0,1,…,n,求P5(2)(写出采取秦九韶算法的计算过程).

解:直接法中乘法运算的次数最多可达到,加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次,加法最多n次.

(1). (2)2n.

(3)因为P0(x)=a0, Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1,

所以P0(2)=1,P1(2)=2P0(2)+2=4, P2(2)=2P1(2)+3=11, P3(2)=2P2(2)+4=26, P4(2)=2P3(2)+5=57, P5(2)=2P4(2)+6=120.