数学专题 高考数学压轴题19

则有：

????????????MAAA1AF??????????????MBBB1BF．…………②

由①②得：

?????????1AFAF???????????2BFBF，即

?1??2?0．

22C:(x?1)?y?8,定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在3．如图所示，已知圆

CM上，且满足AM?2AP,NP?AM?0,点N的轨迹为 曲 （I）求曲线E的方程；

（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的（点G在点F、H之间），

且满足FG??FH，求?的取值范围.

线E.

两点G、H

分析：本小题主要考查直线、圆、椭圆、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力． 函数与方程的思想， 等价转化思想方法

解：（I）?AM?2AP,NP?AM?0. ∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|. 又?|CN|?|NM|?22,?|CN|?|AN|?22?2.

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.

22a?22,?a?2,c?1,b?1. 且椭圆长轴长为焦距2c=2.

x2?y2?1.∴曲线E的方程为2

（II）当直线GH斜率存在时，

x2y?kx?2,代入椭圆方程?y2?1,2设直线GH方程为

1(?k2)x2?4kx?3?0.得23由??0得k2?.2

第5页 / 共9页 让优秀成为一种习惯

G(x1,y1),H(x2,y2),则x1?x2?设

又?FG??FH,?4k3,x1x2?11?k2?k222

?(x1,y1?2)??(x2,y2?2)

?x1??x2,2?x1?x2?(1??)x2,x1x2??x2.?(x1?x22xx2)?x2?121???，

?4k23)11?k2?k22?2?,整理得2?(1??)(31616,?4??.323?32k216(1??)2?1?3(2?1)2k ?4???1?k2???2?161.解得???3.33

又?0???1,1????1.3

x?0,FG?11FH,??.33

又当直线GH斜率不存在，方程为

11????1,即所求?的取值范围是[,1)33

x2y2?2?1(a?b?0)233ab4. 已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：的

焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

OM?ON?463，

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足

cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

点评：本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方和综合解题能力。

函数与方程的思想，数形结合思想 （I）解法一：直线l:y?3x?23， ①

y??3x3， ②

过原点垂直l的直线方程为

第6页 / 共9页 让优秀成为一种习惯

3x?.2 解①②得

∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，

a23??2??3.c2

∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

x2y2??1.?c?2,a2?6,b2?2. 故椭圆C的方程为62 ③

解法二：直线l:y?3x?33.

p?q?3??23?2?2??3?q??1.?p设原点关于直线l对称点为（p，q），则?解得p=3.

∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，

a2??3.c ∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. x2y2??1.?c?2,a2?6,b2?2. 故椭圆C的方程为62 ③

（II）解法一：设M（x1,y1），N（x2,y2）.

当直线m不垂直x轴时，直线m:y?k(x?2)代入③，整理得

12k212k2?6?x?x2??2,x1?x2?,2(3k2?1)x2?12k2x?12k2?6?0, 13k?13k?1

|MN|?1?k2(x1?x2)?4x1x2?1?k2212k2212k2?626(1?k2)(?2)?4??,3k?13k2?13k2?1

d?|2k|1?k2

点O到直线MN的距离

?OM?ON?

44cos?MON6cot?MON,|OM|?|ON|cos?MON?6?0,33sin?MON即

4246,?S?OMN?6.?|MN|?d?6,333

?|OM|?|ON|sin?MON? 第7页 / 共9页 让优秀成为一种习惯

即

46|k|k2?1?46(3k2?1).3

13k2?,?k??.33 整理得

S?26 当直线m垂直x轴时，也满足

?OMN3.

323 故直线m的方程为

y?3x?3,

3 y??3x?23或

3,或x??2.

经检验上述直线均满足OM?ON?0.

所以所求直线方程为

y?3233233x?3,或

y??3x?3,或x??2. 解法二：设M（x1,y1），N（x2,y2）.

当直线m不垂直x轴时，直线m:?k(x?2)代入③，整理得

12k2 (3k2?1)x2?12k2x?12k2?6?0, ?x1?x2??3k2?1,

∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，

∴|MN|=|ME|+|NE|

a2a2c212k2e(?x?e(?x26(k2?1)=c1)c2)?a(x1?x2)?2a?6?(?3k2?1)?26?3k2?1.

以下与解法一相同.

解法三：设M（x1,y1），N（x2,y2）. 设直线m:x?ty?2，代入③，整理得

(t2?3)y2?4ty?2?0.

?y1?y2?4tt2?3,y1y?22?t2?3,

|y|?(y)?4y4t824t22?241?y21?y21y2?(t2?3)?t2?3?(t2?3)2.

?OM?ON?436cot?MON,即 |OM|?|ON|cos?MON?4cos?MON36sin?MON?0, 第8页 / 共9页 让优秀成为一种习惯

?|OM|?|ON|sin?MON?426,?S?OMN?6.33

24t2?24S?OMN?S?OEM?S?OEN?1|OE|?|y1?y2|?(t2?3)2.2

24t2?242∴

(t2?3)2=36，整理得t4?3t2.

解得t??3,或t?0.

故直线m的方程为

y?33233x?233,或

y??3x?3,或x??2. 经检验上述直线方程为OM?ON?0.

所以所求直线方程为

y?33x?233,或

y??3233x?3,或x??2. 第9页 / 共9页 让优秀成为一种习惯