世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业（六十二） 选修4-5 2

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课时提升作业(六十二)

证明不等式的基本方法 (45分钟 100分)

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( )

【解析】选C.(a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2<0, 故A恒成立;

在B项中不等式的两侧同时乘以a2,得a4+1≥a3+a?(a4-a3)+(1-a)≥0?a3(a-1)-(a-1)≥0?(a-1)2(a2+a+1)≥0,所以B项中的不等式恒成立; 对C项中的不等式,当a>b时,恒成立,当a

a?3?a?1a?2?a2.设P?2,Q?7?3,R?6?2,则P,Q,R的大小关系是( ) A.P>Q>R B.P>R>Q C.Q>P>R D.Q>R>P

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【解析】选B.因为2?2?22?6?3?7?54,所以62?6?2,即P>R;又因为

,2所以6?2?7?3,即R>Q,所以P>R>Q.

123.若α∈(?,?),M=|sinα|,N=|cosα|,P=|sinα+cosα|,则它们之间的大小关系为( )

A.M>N>P B.P>N>M C.M>P>N D.N>P>M

【解析】选D.因为α∈(?,?),所以0>sinα>cosα, 所以|sinα|<|cosα|.

所以P=|sinα+cosα|= (|sinα|+|cosα|) >(|sinα|+|sinα|)=|sinα|=M, P=|sinα+cosα|<(|cosα|+|cosα|) =|cosα|=N. 所以N>P>M.

二、填空题(每小题6分,共18分)

4.若a,b均为正数,则下列两式的大小关系为a5+b5 a3b2+a2b3. 【解析】a5+b5-(a3b2+a2b3) =a5+b5-a3b2-a2b3 =(a5-a3b2)+(b5-a2b3) =a3(a2-b2)+b3(b2-a2) =(a2-b2)(a3-b3) =(a2-b2)(a-b)(a2+ab+b2) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2).

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因为a,b均为正数,

所以a+b>0,(a-b)2≥0,a2+ab+b2>0, 所以(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)≥0, 即a5+b5-(a3b2+a2b3)≥0. 所以a5+b5≥a3b2+a2b3. 答案:≥

5.设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,则x,y的大小关系是 . 【解析】因为x-y=m3(m-n)-n3(m-n) =(m-n)(m3-n3) =(m-n)2(m2+mn+n2)

因为m≠n,所以x-y>0,所以x>y. 答案:x>y

6.如果loga3>logb3,且a+b=1,则a与b的大小关系为 . 【解析】因为a>0,b>0,又因为a+b=1, 所以0

所以lg a<0,lg b<0,由loga3>logb3, 所以所以答案:b>a

三、解答题(每小题16分,共64分) 7.(2015·莆田模拟)设a,b是非负实数,

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->0?->0,

>0?lg b>lg a,所以b>a.

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求证:a2+b2≥(a+b).

(a+b) ) (

-)=(-) )(-)

与-同号,所以

【证明】因为(a2+b2)-=(a2-a=a=(

(--)(a)+(b2-b)+b-b

因为a≥0,b≥0,所以不论a≥b≥0,还是0≤a≤b,都有-(-)(-)≥0, (a+b).

1a所以a2+b2≥

8.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)=|x?|?x?a?a?0?. (1)证明:f(x)≥2.

(2)若f(3)<5,求a的取值范围.

【解析】(1)由a>0,有f(x)= |x?|+|x-a|≥|x???x?a?|??a?2. 所以f(x)≥2. (2)f(3)=|3?|+|3-a|.

当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3

【解题提示】利用分析法找思路来证明.

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