易错系列专题高考数学备考冲刺之易错系列专题平面解析几何（ 教师版）

平面解析几何

一、高考预测

解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．

圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．

解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用． 二、知识导学 (一)直线的方程

1.点斜式：y?y1?k(x?x1)；2. 截距式：y?kx?b；

y?y1x?x1xy???1y?yx?x2121ab 3.两点式：；4. 截距式：；

5.一般式：Ax?By?C?0，其中A、B不同时为0.

(二)两条直线的位置关系

两条直线l1，l2有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.

设直线l1：y=k1x+b1，直线l2：y=k2x+b2，则

l1∥l2的充要条件是k1=k2，且b1=b2；l1⊥l2的充要条件是k1k2=-1.

(三)圆的有关问题 1.圆的标准方程

(x?a)2?(y?b)2?r2（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.

222x?y?r特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为.

2.圆的一般方程

x2?y2?Dx?Ey?F?0（D2?E2?4F＞0）称为圆的一般方程，

DE1??r?D2?E2?4F2其圆心坐标为（2，2），半径为.

当D?E?4F=0时，方程表示一个点（

2222?DE?2，2）；

当D?E?4F＜0时，方程不表示任何图形.

3.圆的参数方程

圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：

?x?rcos??222x?y?r ? ?y?rsin? （θ为参数）

?x?a?rcos??222(x?a)?(y?b)?r? ?y?b?rsin? （θ为参数）

(四) 椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.

x2y2y2x2?2?1?2?122bb2.椭圆的标准方程：a（a＞b＞0），a（a＞b＞0）.

23.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x项的分母大

2y于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

(五)椭圆的简单几何性质

x2y2?2?12b1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为a（a＞b＞0）.

⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=?a和y=?b所围成的矩形里.

⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

⑶ 顶点：有四个A1（-a，0）、A2（a，0）B1（0，-b）、B2（0，b）.

线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比

度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.

e?ca叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程

椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a=b+c、准方程只需两个独立条件. (六)椭圆的参数方程

222e?ca两个关系，因此确定椭圆的标

?x?acos?x2y2??2?12b 椭圆a（a＞b＞0）的参数方程为?y?bsin?（θ为参数）.

说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：

tan??btan?a；

x2y2?2?1222b⑵ 椭圆的参数方程可以由方程a与三角恒等式cos??sin??1相比较而

得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.

(七)双曲线及其标准方程

1.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹.

1＜2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1＞2时，轨 若

迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

MFMFMFMFx2y2y2x2?2?1?2?122222abab2. 双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里b?c?a，

其中|F1F2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

x2y2?2?12ab1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，

a2a2x??x?c.在双曲线中，a、b、c、ec和0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是

ce?a与c2?a2?b2的关系，四个元素间有与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立

的条件.

(九)抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。

需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。

2222y?2pxy??2pxx?2pyx2．抛物线的方程有四种类型：、、、??2py.

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即

为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。

2

3．抛物线的几何性质，以标准方程y=2px为例 （1）范围：x≥0；

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

（5）准线方程

x??p2；