2018版高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示理

??a－1＝4，∴?

?b－1＝－4，?

??a＝5，

解得?

?b＝－3.?

∴点C的坐标为(5，－3)．

→→→→→

12．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； →

(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．

解 (1)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，

??－6m＋n＝5，∴?

?－3m＋8n＝－5，?

??m＝－1，

解得?

?n＝－1.?

→→→

(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， →→

∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M(0,20)．

→→→

又∵CN＝ON－OC＝－2b，

→→

∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， →

∴N(9,2)，∴MN＝(9，－18)．

*13.如图所示，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．

→→→→→

(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；

13

(2)设→OP＝xOA→，→OQ＝yOB→

，证明：11x＋y是定值．

(1)解 →OG＝→OP＋→PG＝→OP＋λ→

PQ ＝→OP＋λ(→OQ－→OP)＝(1－λ)→OP＋λ→OQ. (2)证明 一方面，由(1)，得 →

OG＝(1－λ)OP→＋λOQ→

＝(1－λ)xOA→＋λyOB→

；① 另一方面，∵G是△OAB的重心， ∴→OG＝2→21→1→1→3OM＝3×2(OA＋→

OB)＝3OA＋3OB.②

???1－λ?x＝1

?3

，由①②得??λy＝1

3.

∴1x＋1

y＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)．

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