2018版高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示理

第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 理

1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1＋y1. (2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→22

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝?x2－x1?＋?y2－y1?. 3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共线?x1y2－x2y1＝0.

【知识拓展】

1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b?＝.

2

2

x1y1x2y2

1

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )

(4)若a＝(xy1

1，y1)，b＝(x2，yx12)，则a∥b的充要条件可表示成x＝.( × ) 2y2

(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )

1．设e1，e2是平面内一组基底，那么( )

A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0

B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数) C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内

D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 答案 A

2．(教材改编)已知a1＋a2＋?＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋?＋an－1的坐标为( A．(4,3) B．(－4，－3) C．(－3，－4) D．(－3,4)

答案 C

解析 a1＋a2＋?＋an－1＝－an＝(－3，－4)．

3．(2015·课标全国Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量→AC＝(－4，－3)，则向量→

BC等于( A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4)

答案 A

解析 →AB＝(3,1)，→AC＝(－4，－3)，→BC＝→AC－→

AB＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝________. 答案 －1

2

) ) 2

解析 由已知条件可得ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2m－n3m＋2nm2,4)＝(4，－1)．∵ma＋nb与a－2b共线，∴＝，即n－2m＝12m＋8n，∴＝4－1n1

－. 2

5．(教材改编)已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________． 答案 (1,5)

→→

解析 设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，

?4＝5－x，?即???1＝6－y，

解得?

?x＝1，???y＝5.

题型一 平面向量基本定理的应用

例1 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交→→→

于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于( ) 11

A.a＋b 4221

C.a＋b 33答案 C

→→

解析 ∵AC＝a，BD＝b，

11B.a＋b 2412D.a＋b 33

→→→∴AD＝AO＋OD 1→1→11＝AC＋BD＝a＋b. 2222

DE1∵E是OD的中点，∴＝，

EB3

1∴DF＝AB.

3

→1→1→→∴DF＝AB＝(OB－OA)

33

3

11→1→＝×[－BD－(－AC)] 3221→1→11

＝AC－BD＝a－b， 6666→→→1111∴AF＝AD＋DF＝a＋b＋a－b

226621

＝a＋b， 33故选C.

思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

→1→→→2→

如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m311

的值为________．

答案

3

11

→→

解析 设BP＝kBN，k∈R. →→→→→因为AP＝AB＋BP＝AB＋kBN 1→→→→→→

＝AB＋k(AN－AB)＝AB＋k(AC－AB)

4→k→

＝(1－k)AB＋AC，

4→→2→且AP＝mAB＋AC，

11

k2

所以1－k＝m，＝，

411

83

解得k＝，m＝.

1111

题型二 平面向量的坐标运算

例2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )

4