高数第五章 定积分的应用

F(x)?pS?k1?x.

故推动活塞所作功为

W??0.500.59800? dx??9800?ln?1?x?1?x04?980000?ln2?2.13?10(J).

例2 从地面垂直向上发射一质量为m的火箭，求将火箭发射至离地面高H处所作的功.

解 发射火箭需要克服地球引力做功，设地球半径为R，质量为M，则由万有引力定律知地球对火箭的引力为

F=GMmr2，

其中r为地心到火箭的距离，G为引力常数.

当火箭在地面时，r?R，引力为GM2m.另一方面，火箭在地面时，所受引力应为mg，其

R中g为重力加速度，因此

GMmR2?mg， gRM22故有 G?于是

F?，

mgRr2.

从而，将火箭从r?R发射至r?R?H处所做功为

W?mgR2?R?HR1?2?1dr?mgR???.

R?H?r?R21例3 地面上有一截面面积为A?20m，深为4 m的长方体水池盛满水，用抽水泵把这池

水全部抽到离池顶3m高的地方去，问需做多少功？

2

图5?20

解 建立坐标系如图5?20所示.设想把池中的水分成很多薄层，则把池中全部水抽出所做的功W等于把每一薄层水抽出所做的功的总和.在［0，4］上取小区间［x，x+dx］，相应于此小区间的那一薄层水的体积为20dxm3，设水的密度ρ?1?103kg·m-3，故这层水重为2?104gdx kg，将它抽到距池顶3m高处克服重力所做功为

dW?2?10?(x?3)?gdx?

4

从而，将全部水抽到离池顶3m高处所做的功为

W??40?x2?452?10?(x?3)?gdx?1.96?10????3x??2?40

6?3.92?10(J) (其中g?9.8m?s)

-2二、液体静压力

由帕斯卡(Pascal)定律，在液面下深度为h的地方，液体重量产生的压强为p?ρgh，其中ρ为液体密度，g为重力加速度.即液面下的物体受液体的压强与深度成正比，同一深度处各方向上的压强相等.面积为A的平板水平置于水深为h处，平板一侧的压力为

p?ρghA. 下面考虑一块与液面垂直没入液体内的平面薄板，我们来求它的一面所受的压力.设薄板为一曲边梯形，其曲边的方程为y?f(x)，建立坐标系如图5?21所示，(a?x?b)，x轴铅直向下，轴与液面相齐.当薄板被设想分成许多水平的窄条时，相应于典型小区间的小窄条［x,x?dx］上深度变化不大，从而压强变化也不大，可近似地取为ρgx，同时小窄条的面积用矩形面积来

y近似，即为f(x)dx，故小窄条一面所受压力近似地为

dp?ρgx?f(x)dx.

图5?21

从而

p?ρg

?baxf(x)dx. (5?5?2)

例4 一横放的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，桶端面半径为0.6m，计算桶的一个端面上所受的压力.

图5?22

解 建立坐标系如图5?22所示，桶的端面圆的方程为

22x?y?0.36.

［x,x?dx］相应于的小窄条上的压力微元

dp?2ρgx0.36?xdx，

2所以桶的一个端面上所受的压力为

p?x??0.60x0.36?xdx

223ρg(0.6) 3?1.41?10（N）

3其中ρ?1?103kg·m?3，g?9.8m?s-2. 三、引力

由物理学知，质量分别为m1,m2，相距为r的两质点间的引力的大小为

F?Gm1m2r2，

其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向.

对于不能视为质点的两物体之间的引力，我们不能直接利用质点间的引力公式，而是采用微元法，下面举例说明.

例5 一根长为l的均匀直棒，其线密度为ρ，在它的一端垂线上距直棒a处有质量为m的质点，求棒对质点的引力.

图5?23

解 建立坐标系如图5?23所示，对任意的x?的一［x,x?dx］［0，l)，考虑直棒上相应于段对质点的引力，由于dx很小，故此一小段对质点的引力可视为两质点的引力，其大小为

dF?Gmρdxa?x22

，

其方向是沿着两点(0,a)与?x,0?的连线的，当x在?0,l?之间变化时，dF的方向是不断变化的.故将引力微元dF在水平方向和铅直方向进行分解，分别记为dFx，dFy，则

dFx?xx2?aa2dF?(xdF??Gmρx2?a)232dx，

dFy??Gmρa(x2x2?a2?a)232dx.

于是，直棒对质点的水平方向引力为

Fx?Gmρ?l02x(x?a)2232dx

32 ?Gmρ2?l0(a?x)d(a?x)

22?122?22 ??Gmρ(a?x) ?Gmρ(?铅直方向引力为

Fy??Gmρa?l02l0) .

1a1a?l22dx(a?x)232

??Gmρa(a??Gmρlaa?l2x2a?x22)?12l0

.

2注意 此例如果将直棒的线密度改为ρ?ρ(x)，即直棒是非均匀的，当ρ(x)为已知时，直棒对质点的引力仍可按上述方法求得. 四、平均值

我们知道，n个数值y1,y2,?,yn的算术平均值为

y?1(y1?y2???yn). n在许多实际问题中，需考连续函数在一个区间上所取值的平均值，如一昼夜间的平均温度等.下面将讨论如何规定和计算连续函数f(x)在上的平均值. ［a,b］b?a先将区间，［a,b］n等分，分点为a?x0＜x1＜?＜xn?b，每个小区间的长度为Δx?n?,n).当Δx很小(即n充分大)时，在每个小区f(x)在各分点处的函数值记为yi?f(xi)(i?1,2,间上函数值视为相等，故可以用y1,y2,?,yn的平均值

1(y1?y2???yn) n［a,b］来近似表达f(x)在上的所有取值的平均值.因此，称极限值

y?limn??1(y1?y2???yn)n

［a,b］为函数f(x)在上的平均值.

由于

y?lim?limn??y1?y2???ynb?a?b?any1?y2???ynb?an

?x?0??x

1?lim?f(xi)?xb?a?x?0i?1，

故

b1f(x)dx.

b?a?a［a,b］式(5?5?3)就是连续函数f(x)在上的平均值的计算公式.

y? (5?5?3)

例6 计算纯电阻电路中正弦交流电i?Imsinωt在一个周期T?称平均功率).

解 设电阻为R，则电路中的电压为

U?iR?ImRsin?t2π?上的功率的平均值(简

，

功率为

N?Ui?ImRsin?t.

22一个周期上的平均功率为