2020届高三数学精准培优专练十六利用空间向量求夹角（理科）教师版

2020届高三

培优点十六 利用空间向量求夹角

一、求直线与直线的夹角

例1：在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2AA1，则直线AC1与B1C所成角的余弦值为 ． 【答案】

5 5【解析】在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2AA1，

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设AB?BC?2AA1?2，则A(2,0,0)，C1(0,2,1)，B1(2,2,1)，C(0,2,0)，

uuuuruuur． AC1?(?2,2,1)，BC1?(?2,0,?1)uuuuruuur|AC1?B1C|35ruuur??设直线AC1与B1C所成角为?，则cos??uuuu，

5|AC1|?|B1C|9?5直线AC1与B1C所成角的余弦值为

5． 5二、求直线与平面的夹角

例2：正三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为 ．

【答案】

10 4【解析】设AB?BB1?1，以B为原点，建立空间直角坐标系坐标系如图，

则C1(0,1,1)，A?r??31?uuuu31?，

?2,2,0??AC1????2,2,1??， ????又平面BB1C1C的一个法向量n?(1,0,0)，设AC1与平面BB1C1C的夹角为?，

uuuuruuuur|AC1?n|6r?则sin??|cos?n,AC1?|?uuuu，

4|AC1|?|n|故cos??1?sin2??

10． 4三、求平面与平面的夹角

例3：正方体ABCD?A1B1C1D1中，二面角A?BD1?B1的大小是 ． 【答案】

2π 3【解析】设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz，

uuuuruuuruuurA(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，BA?(0,?1,0)，BD1?(?1,?1,1)，BB1?(0,0,1)，

uuur??BA?n??y?0设平面ABD1的法向量n?(x,y,z)，则?uuuu， r??BD1?n??x?y?z?0取x?1，得n?(1,0,1)，

uuur??BB1?m?c?0BBDm?(a,b,c)设平面11的法向量，则?uuuu， r??BD1?m??a?b?c?0取a?1，得m?(1,?1,0)，

设二面角A?BD1?B1的平面角为?，cos???|cos?m,n?|??∴二面角A?BD1?B1的大小为

1， 22π． 3对点增分集训

一、选择题

1．已知四面体ABCD中，平面ABD?平面BCD，BD?DC，BD?DC，△ABD为边长2的等边三角形，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ） A．

2 4B．

2 3C．

1 2D．

3 4【答案】A

【解析】根据题意画出图形如下图所示：

∵平面ABD?平面BCD，平面ABDI平面BCD?BD，BD?DC， ∴DC?平面ABD．

以过点D且与平面BCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系D?xyz，

则D(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A(1,0,3)，∴DB?(2,0,0)，AC?(?1,2,?3)，

uuuruuur

uuuruuuruuuruuurDB?AC?22ruuur???∴cos?DB,AC??uuu，

4|DB|?|AC|2?22∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为

2． 42．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱上（除去棱AD）到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个，记这3个 点分别为E，F，G，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为（ ） A．26 13B．226 13C．278 39D．478 39【答案】D

【解析】正方体ABCD?A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，

B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，

以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设AB?2，则E(1,2,0)，F(,2,2)，G(0,0,2)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，

uuuruuuruuuur13∴EF?(,0,2)，GF?(,2,0)，AC1?(?2,2,2)．

2232?1uuurx?2z?0???2?n?EF?0设平面EFG的法向量n?(x,y,z)，则?uuu，即?， r3??x?2y?0?n?GF?0??2取x?4，得n?(4,?3,?1)， 设直线AC1与平面EFG所成角为?，