上海市复旦大学附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

A． 如果a＞b，b＞c，那么a＞c

B． 如果a＞b＞0，那么a＞b

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C． 对任意实数a和b，有a+b≥2ab，当且仅当a=b时等号成立 D． 如果a＞b，c＞0那么ac＞bc

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

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分析： 可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c=a+b），可得外围的正方

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形的面积为c，也就是a+b，四个阴影面积之和刚好为2ab，可得对任意正实数a和b，有22

a+b≥2ab，即可得出．

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解答： 解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c=a+b），

222

则外围的正方形的面积为c，也就是a+b，四个阴影面积之和刚好为2ab，

22

对任意正实数a和b，有a+b≥2ab，当且仅当a=b时等号成立． 故选：C．

点评： 本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题． 13．（4分）设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（） A． f（x）=x，g（x）=

B． f（x）=

，g（x）=

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C． f（x）=1，g（x）=（x﹣1）

0

D． f（x）=，g（x）=x﹣3

考点： 判断两个函数是否为同一函数． 专题： 常规题型．

分析： 根据确定函数的三要素判断每组函数是否为同一个函数，即需要确定每组函数的定义域、对应关系、值域是否相同，也可只判断前两项是否相同即可确定这两个函数是否为同一个函数．

解答： 解：A组中两函数的定义域相同，对应关系不同，g（x）=|x|≠x，故A中的两函数不为同一个函数；

B组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合，对应关系化简为f（x）=g（x）=1，故B中的两函数是同一个函数；

C组中两函数的定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠1}，故C中的两函数不为同一个函数；

D组中两函数的定义域不同，g（x）的定义域为R，f（x）的定义域由不等于﹣3的实数构成，故D中的两函数不为同一个函数． 故选B．

点评： 本题考查函数定义域的求解，函数解析式的化简，考查学生对函数三要素的认识和把握程度，考查学生的转化与化归思想，属于基本的函数题型．

14．（4分）是成立的（）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．

分析： 根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

解答： 解：当时，成立，即充分性成立，

当x=10，，满足成立但不成立，即必要性不成立．

故是成立充分不必要条件，

故选：A

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．

15．（4分）在关于x的方程x﹣ax+4=0，x+（a﹣1）x+16=0，x+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围为（） A． ﹣4≤a≤4 B． a≥9或a≤﹣7 C． a≤﹣2或a≥4 D．﹣2＜a＜4

考点： 函数的零点．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可．

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解答： 解：若关于x的方程x﹣ax+4=0，x+（a﹣1）x+16=0，x+2ax+3a+10=0没有实根，

222

则，

解得﹣2＜a＜4，

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则关于x的方程x﹣ax+4=0，x+（a﹣1）x+16=0，x+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根时， a≤﹣2或a≥4， 故选C．

点评： 本题考查了命题与命题的否定，属于基础题．

三、解答题（共6大题，满分60分） 16．（8分）解关于x的方程：x+|2x﹣3|=2．

考点： 函数的零点．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 直接去掉绝对值符号，然后求解即可．

2

解答： 解：或，

解之x=2或． 方程的解为：x=2或；

点评： 本题考查函数的零点与方程的根的知识，基本知识的考查．

17．（8分）设关于x的不等式：（1）解此不等式； （2）若2∈

，求实数k的取值范围．

．

考点： 其他不等式的解法．

专题： 计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．

2

分析： （1）化简不等式，得到（k﹣2）x≥k﹣k﹣4，讨论k=2，k＞2，k＜2，解不等式，即可得到解集；

（2）由条件讨论k=2，k＞2，k＜2，得到不等式组，解出它们，再求并集即可．

解答： 解：（1）

即有（k﹣2）x≥k﹣k﹣4，

所以①当k=2时，不等式的解为R； ②当k＞2时，不等式的解为

，即解集为：[

2

，

）；

③当k＜2且k≠0时，不等式的解为，即解集为：（﹣∞，]；

（2）由于，

所以k=2符合；结合（1）可以得到：

，解之2＜k＜3；

或，解之0＜k＜2．

综上k∈（0，3）．

点评： 本题考查含参不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．

18．（10分）已知P=

，Q={x|x﹣2x+（1﹣m）≤0}，其中m＞0，全集

2

2

U=R．若“x∈?UP”是“x∈?UQ”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．

分析： 根据充分条件和必要条件的定义和关系，结合不等式的关系，即可得到结论．

解答： 解：由“x∈?UP”是“x∈?UQ”的必要不充分条件， 可得?UP??UQ，即P?Q， P=则即

， ，解得m≥9，

={x|﹣2≤x≤10}，Q={x|x﹣2x+（1﹣m）≤0}={x|1﹣m≤x≤1+m}，

2

2

故实数m的取值范围[9，+∞）．

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的解法求出集合是解决本题的关键．

19．（10分）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x，高分别为x，y；C，

2

D的底面积均为y，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？

考点： 不等式比较大小． 专题： 不等式的解法及应用．

2

分析： 当x＞y时，利用不等式的性质可得：x＞xy＞xy＞y，即A＞B＞C＞D；当x＜y

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时，同理可得：y＞yx＞yx＞x，即D＞C＞B＞A；又x+y﹣（xy+xy）＞0．即可得出．

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解答： 解：当x＞y时，则x＞xy＞xy＞y，即A＞B＞C＞D；

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当x＜y时，则y＞yx＞yx＞x，即D＞C＞B＞A；

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又x+y﹣（xy+xy）=（x﹣xy）+（y﹣xy）=（x﹣y）（x+y）＞0．

∴在不知道x，y的大小的情况下，取A，D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握． 故只有1种，就是取A，D．

点评： 本题考查了不等式的基本性质、“作差法”，考查了推理能力，属于基础题．

20．（10分）定义实数a，b间的计算法则如下：a△b=（1）计算2△（3△1）；

．

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