2018年高考数学总复习 不等式选讲

第三节 不等式选讲(选修4-5)

考纲解读

1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.

2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.

4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.

命题趋势探究

本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.

知识点精讲

一、不等式的性质

1.同向合成

（1）a?b,b?c?a?c； （2）a?b,c?d?a?c?b?d； （3）a?b?0,c?d?0?ac?bd.

（合成后为必要条件）

2.同解变形

（1）a?b?a?c?b?c；

（2）a?b?c?0,ac?bc?c?0,ac?bc； （3）a?b?0?11??0?a?b?0. ba（变形后为充要条件）

3.作差比较法

a?b??a?b?0,a?b?a?b?0

二、含绝对值的不等式

（1）a?0,|x|?a???a?x?a；a?0,|x|?a??x?a,或x??a （2）|a|?|b|?a?b

（3）|x?a|?|x?b|?c零点分段讨论

22三、基本不等式

22（1）a?b?2ab（当且仅当等号成立条件为a?b）

（2）a?0,b?0,a?b?2ab（当且仅当等号成立条件为a?b）； 2a?0,b?0,c?0,（3）柯西不等式

a?b?c3?abc（当且仅当a?b?c时等号成立） 3 (a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2（当且仅当ad?bc时取等号） ①几何意义：|a?b|≤|a||b|?|ad?bc|?22②推广：(a1?a2?a2?b2c2?d2 2?anbn).当且仅

?an2)(b12?b22?2?bn)?(a1b1?a2b2?当向量a=(a1,a2,,an)与向量b=(b1,b2,,bn)共线时等号成立.

四、不等式的证明

（1）作差比较法、作商比较法.

（2）综合法——由因到果. （3）分析法——执果索因. （4）数学归纳法.

（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （6）反证法. （7）放缩法.

题型归纳即思路提示

题型201 含绝对值的不等式

一、解含绝对值的不等式 思路提示

对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：

|f(x)|?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)；

|f(x)|?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)；

|f(x)|?|g(x)|?f(x)?g(x)?(f(x)?g(x))(f(x)?g(x))?0. 有时去绝对值也可根据|x|?x来去绝对值.

例16.14 在实数范围内，不等式||x?2|?1|?1的解集为 .

2222|1?|，1即?1?|x?2|?1?，1即|x?2?|2解析 由于||x?2?，所以?2?x?2?2，所以0?x?4.所以不等式的解集为[0,4].

变式1 不等式|x?5|?|x?3|?10的解集是（ ）

A. [?5,7] B. [?4,6] C. (??,?5][7,??) D. (??,?4][6,??)

变式2 已知函数f(x)?|x?2|?|x?5|.

（1）证明：?3?f(x)?3；

（2）求不等式f(x)?x2?8x?15的解集.

二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题

例16.15 （2012辽宁理24）已知f(x)?|ax?1|(a?R),不等式f(x)?3的解集为

?x|?2?x?1?.

(1)求a的值；

(2)若|f(x)?2f()|?k恒成立，求k的取值范围.

解析 （1）由|ax?1|?3得?4?ax?2，又f(x)?3的解集为?x|?2?x?1?，所以当

x2a?0时，不合题意.当a?0时，?42?x?得a?2. aa??1,x??1?x1?(2)记h(x)?f(x)?2f()，则h(x)???4x?3,?1?x??，

22?1??1,x????2所以|h(x)|?1，因此k?1，即k的取值范围是[1,??).

变式1 （2012新课标理24）已知函数f(x)?|x?a|?|x?2|.

（1）当a??3时，求不等式f(x)?3的解集；

（2）若f(x)?|x?4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

变式2 (2013重庆理16) 若关于实数x的不等式|x?5|?|x?3|?a无解，则实数a的取值范围是 .

变式3 (2013全国新课标I理24) 已知函数f(x)?|2x?1|?|2x?a|,g(x)?x?3. (1)当a??2时，求不等式f(x)?g(x)的解集； (2)设a??1，且当x?[?a1,)时，f(x)?g(x)，求a的取值范围. 22三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题

|例16.16 若关于x的不等式|a|?|x?1|?|x?2存在实数解，则实数a的取值范围

是 .

解析 不等式|a|?|x?1|?|x?2|有解，则|a|?(|x?1|?|x?2|)min?3，故实数a的取值范围是(??,?3][3,??).

变式1 (2012陕西理15)若存在实数x使|x?a|?|x?1|?3成立，则实数a的取值范围是 .

1|?|a|?0有实根，求a的取值范围. 4四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围

31?例16.17 （2013福建理23） 设不等式|x?2|?a(a?N)的解集为A，且?A,?A .

22 (1)求a的值；

变式2 已知a?R，关于x的方程x?x?|a?2 (2)求函数f(x)?|x?a|?|x?2|的最小值.

分析 先根据不等式的情况求出字母取值，在利用不等式求解最值. 解析 （1）因为

313113?A,且?A，所以|?2|?a，且|?2|?a，解得?a?.又222222a?N?，所以a?1.

||x(?1)?x(?2)?|，当且仅当(x?1)(x?2)?0，即 (2)因为|x?1|?|x?2??1?x?2时取等号，所以f(x)的最小值为3.

变式1 设函数f(x)?|x?a|?3x，其中a?0. (1) 当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集；

(2)若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1?，求a的值. 变式2 (2013辽宁理24) 已知函数f(x)?|x?a|，其中a?1. (1) 当a?2时，求不等式f(x)?4?|x?4|的解集；

(2) 已知关于x的不等式|f(2x?a)?2f(x)|?2的解集为?x|1?x?2?，求a的值. 变式3 (2012山东理13) 若不等式|kx?4|?2的解集为?x|1?x?3?，则实数k= .