高中数学 第1章 立体几何初步 72 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课时作业 北师大版必修2

7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积

时间：45分钟 满分：80分

班级________ 姓名________ 分数________

一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)

1．一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，则三棱锥的体积与原来长方体体积之比为( )

A．1：3 B．1：6 C．1：8 D．1：4 答案：B

解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，

11abc则V三棱锥＝(ab)c＝.

326

又V长方体＝abc.故选B.

2．正四棱锥的侧棱长为2 3，侧棱与其在底面上的射影所成的角为60°，则该棱锥的体积为( )

A．3 B．6 C．9 D．18 答案：B

解析：如图所示O为正四棱锥底面中心，∠PCO＝60°，PC＝2 3，则在Rt△POC中，

AC1

PO＝3，OC＝3，AC＝2 3，AB＝＝6，∴V锥＝×6×6×3＝6，故选B.

32

3．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( ) A．26 B．28 C．30 D．32 答案：B

1

解析：所求棱台的体积V＝×(4＋16＋4×16)×3＝28.

3

4．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )

1

A．12π B．45π C．57π D．81π 答案：C

解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，由三视图可得该几何体的体积V12222

＝V圆锥＋V圆柱＝×π×3×5－3＋π×3×5＝57π.故选C.

3

5．已知圆柱的侧面展开图的面积为S，底面周长为c，它的体积是( )

c34πSA. B.3 4πScC.

D. 2π4π答案：D

解析：由题意知2πr＝c，所以r＝π()·＝，故选D. 2πc4π6.

cSScc2π

.又因为ch＝S，所以h＝.所以V＝πrh＝

Sc2

c2

ScS

在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )

9π7πA. B. 225π3πC. D. 22答案：D

解析：从A点向BC作垂线，垂足为Q，所求旋转体的体积可视为两个圆锥的体积之差：

113

V旋＝V大－V小＝π(3)2×2.5－π(3)2×1＝π.

332

二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)

7．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

2

答案：4

1

解析：由俯视图与左视图，可知该三棱锥的底面积为×4×3＝6，由左视图，可知该三

2

1

棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为×6×2＝4.

3

8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是__________．

答案：54

解析：由题意知rR＝，r、R分别为上、下底面的半径，故(V－V＝，解出V＝54.

9．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，则它们的体积大小关系是________． 答案：V正方体＜V圆柱

2

解析：设正方体棱长为a，则圆柱高为a，又设圆柱底面圆的半径为r，则4a＝2πra，2a即r＝.

π

4332

∴V正方体＝a，V圆柱＝πra＝a.

π

∵4＞π＞0， ∴V正方体＜V圆柱．

三、解答题(共35分，11＋12＋12)

10．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，求三棱锥P－ABC的体积．

解：因为PA⊥底面ABC，且底面ABC是边长为2的正三角形，所以三棱锥P－ABC的体11

积V＝××2×3×3＝3.

32

11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积．

解：如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，

则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积．

3

11148222

所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝π×(5＋5×2＋2)×4－π×2×2＝π.

333

12.

如图，A1A是圆柱的一条母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A＝AB＝2.求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．

1

解：因为VA1－ABC＝S△ABC·AA1，而A1A＝2，要使得三棱锥A1－ABC的体积最大，只需

3

三角形ABC的面积最大．

1

记AB边上的高为CD，则S△ABC＝·AB·CD＝CD.

2

112

显然CD有最大值1，所以VA1－ABC＝×CD×AA1≤×1×2＝.

3332

故三棱锥A1－ABC的体积的最大值为. 3

4