数学分析教案(华东师大版)第十四章幂级数(20200511214912)

《数学分析》教案

第十四章 幕级数

教学目的：1.理解幕级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题； 2.理解幕级数 的运算，掌握函数的幕级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幕级数时的重 要性。

教学重点难点：本章的重点是幕级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收 敛区间端点处敛散性的判别。

教学时数：12学时

§ 1幕级数（4时）

幕级数的一般概念.型如\\亠二二一和农心的幕级数.幕级数

由系数数列…?唯一确定.幕级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如 工陽才的幕级数.幕级数是最简单的函数项级数之一.

一. 幕级数的收敛域：

1. 收敛半径、收敛区间和收敛域：

-1 -

《数学分析》教案

( Abel )若幕级数、厂 在点:;收敛,则对满足不等

Th 1

式|x|<|z|的任何X,幕级数 升*收敛而且绝对收敛；若在点I = x发散， 则对满足不等式| x|〉|]|的任何X,幕级数 工兔才发散?

收敛,{%}有界.设I

\\

定理的第二部分系第一部分的逆否命题

幕级数和

■的收敛域的结构.

定义幕级数的收敛半径 R.

收敛半径R的求法.

Th 2 对于幕级数

八若血幼知=p,贝U

i > 一 「 ' \ii > \时…一 \；iii > \二丨二时丄〔一..

证

血竽务F =血 町盘| x\\= p\\x ,(强调开方次数与X的次数是

1JO) W & JO) 7 R '

致的).

-2 -

《数学分析》教案

由于lirn

。和=p, n lim戈忙厂=口，因此亦可用比值法求收敛半径 n今a a ”1 7 '

幕级数 的收敛区间：

幕级数的收敛域：一般来说，收敛区间_收敛域?幕级数

的收敛域是区间上、厂、—E.F.或「-匚门之一.

求幕级数\\'二的收敛域.

([-U])

例2求幕级数-

■■■ …的收敛域. f - J 2 n

例3 求下列幕级数的收敛域

2.复合幕级数、宀:- ：令「-厂二I ,则化为幕级数?设该

幕级数的收敛区间为?山./■. I，则级数

的收敛区间由不等式- .■: ■二确定?可相应考虑收敛域?

-3 -

,

《数学分析》教案

特称幕级数

(无为正整数)为缺项幂级数.其中职(x) = / .应注意

、为第二项的系数

并应注意缺项幕级数 、厶并不是复合幕级数

数中为第「项的系数

求幕级数 1心

3 33

的收敛域

总 + 1

3

33 33 3*

厂是缺项幕级数

n-Ci》

0 1

'' ?收敛区间为?厂■: I . — _；时,

宀匕I 3

通项—.

因此， 该幕级数的收敛域为 (需用).

4

j

求级数 r

的收敛域-

,所论级数成为幕级数 if f ?由几何级数的敛

M-0 / ―叫丄丿 u f汁

散性结果，当且仅当

■2〈f〈2时级数工丁 收敛?因此当且仅当

1

F 1

<2,即|x-l|》号时级数乂 -仆收敛?所以所论级数的收敛域

2 x 2 (x -1)

为—

求幕级数\\ *的收敛半径?

-4 -

该级

广 中