120文科高考导数练习题125

（2）由已知，得若a=0，由f'（x）＞0得若a≠0∵函数f（x）区间∴f'（x）≥0对

，显然不合题意 是增函数

恒成立，即不等式ax+2x﹣1≥0对

2

恒成立

即 恒成立 故

而当点评：

，函数，∴实数a的取值范围为a≥3．

本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性，属于常规题，必须掌握．

3

2

30．（2014?广西）函数f（x）=ax+3x+3x（a≠0）． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=ax+3x+3x，∴f′（x）=3ax+6x+3，

2

令f′（x）=0，即3ax+6x+3=0，则△=36（1﹣a）

①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数； ②因为a≠0，∴当a≤1，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=

，x2=

，

322

当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；

当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；

2

（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数， 当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数， 当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣a的取值范围[

）∪（0，+∞）．

，

点评： 本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分

类讨论思想的应用．

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