导数的概念、几何意义及其运算

5、函数最值的判断：

① 求函数y?f(x)在区间?a,b?内的极值；② 将f(x)的各极值与端点处的函数值

f?a?、f?b?比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

6、极值与最值的区别与联系：

（1）函数极值是局部性质，最值是整体性质；

（2）函数在定义区间上最大、最小值最多各有一个，但极值可能不止一个，也可能不存在； （3）当函数在某区间上的图像连续，并有且仅有一个极值时，该极值必为函数的最值.

基础练习：

1．(2008广东文)设a?R，若函数y?e?ax，x?R有大于零的极值点，则（ ）

x1 e,2．(2008福建文)如果函数y?f(x)的图像如右图,那么导函数y?f(x)的图像可能是（ ）

A．a??1 B. a??1 C. a?? D. a??

1e

3．（2004全国卷Ⅱ理科）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）

（A）(

3??3?5?，) （B）(?，2?) （C）(，) （D）(2?，3?)

2222

4．( 2007广东文)函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ．

5．（2007江苏）已知函数f(x)?x?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别为

3M,m，则M?m? . 6、已知函数f(x)??x?3x?9x?a.（Ⅰ）求f(x)的单调减区间； （Ⅱ）若f(x)在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

325

7、已知函数f(x)?x?ax?bx?c在x??（1）求a，b的值及函数f(x)的单调区间；

322与x?1时都取得极值． 3（2）若对x?[?1，2]，不等式f(x)?c恒成立，求c的取值范围．

8.（2008北京文）已知函数f(x)?x?ax?3bx?c(b?0),且g(x)?f(x)?2是奇函数.

（Ⅰ）求a,c的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.

3226

9．（2004浙江文）已知a为实数，f(x)?(x?4)(x?a)（Ⅰ）求导数f?(x)；

（Ⅱ）若f?(?1)?0，求f(x)在[-2，2] 上的最大值和最小值； （Ⅲ）若f(x)在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。

10．（2005全国卷II文科）设a为实数，函数f(x)?x?x?x?a．（I）求f(x)的极值；

（II）当a在什么范围内取值时，曲线y?f(x)与x轴仅有一个交点．

3227

函数的单调性、极值、最值与导数（答案）

1．A ； 2．A ； 3．B； 4．?,??? ；5． 32 .

26、解：（I）f?(x)??3x?6x?9. 令f?(x)?0，解得x??1或x?3,

?1?e??所以函数f(x)的单调递减区间为(??,?1),(3,??).

（II）因为f(?2)?8?12?18?a?2?a, f(2)??8?12?18?a?22?a,

所以f(2)?f(?2).因为在（－1，3）上f?(x)?0，所以f(x)在[－1，2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(?1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值.于是有22?a?20，解得a??2.

故f(x)??x?3x?9x?2. 因此f(?1)?1?3?9?2??7, 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7. 7、解：（1）f（x）＝x＋ax＋bx＋c，f?（x）＝3x＋2ax＋b 由f?（－x 3223221241）＝－a＋b＝0，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝－，b＝－2 3932（－?，－f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表： 22） － 33（－1 2，1） 3（1，＋?） f?（x） ＋ f（x） ? 0 － 极大值 ? 0 ＋ 极小值 ? 22）与（1，＋?）。递减区间是（－，1） 331222（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c

2327所以函数f（x）的递增区间是（－?，－

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 22

要使f（x）?c（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c?f（2）＝2＋c 解得c?－1或c?2 8.解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的x∈R,g(-x)=-g(x),即f(-x)- 2=-f(x)+2.

3232

又f(x)=x+ax+3bx+c,所以-x+ax-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2. 所以f′(x)=3x2+3b(b≠0). 当b＜0时，由f′(x)=0得x=±?b. x变化时，f′(x)的变化情况如下表： x f′(x) (-∞,- + a??a,所以解得a=0，c＝2.

c?2??c?2.?b) -?b 0 (-?b,?b) - 0 ?b (?b,+∞) + 所以，当b＜0时，函数f (x)在（-∞，-?b）上单调递增，在（-?b，?b）上单调8