(完整word版)2019年江苏卷数学高考真题(2)

（3）若a?0,0?b?1,c?1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤20．（本小满分16分）

定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

4． 27*（1）已知等比数列{an}(n?N)满足：a2a4?a5,a3?4a2?4a4?0，求证：数列{an}为“M－数列”；

*（2）已知数列{bn}(n?N)满足：b1?1,122??，其中Sn为数列{bn}的前n项和． Snbnbn?1①求数列{bn}的通项公式；

*bkck?1②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}(n?N)，对任意正整数k，当k≤m时，都有ck剟成立，求m的最大值．

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ·参考答案

一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6}

2.2

3.5

4.[?1,7]

5.

5 36.

7 10

7.y??2x

8.16 9.10 10.4

11.(e, 1) 12.3

213.

10?12?14.?,?? 34??二、解答题

15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.

满分14分.

解：（1）因为a?3c,b?2,cosB?2， 32(3c)2?c2?(2)2a2?c2?b212由余弦定理cosB?，得?，即c?.

32?3c?c2ac3所以c?3. 3sinAcosB?， a2babcosBsinB??由正弦定理，得，所以cosB?2sinB. sinAsinB2bb（2）因为

2从而cosB?(2sinB)，即cos2B?41?cos2B，故cosB?22??4. 5因为sinB?0，所以cosB?2sinB?0，从而cosB?25. 5因此sin?B???π?25. ?cosB??2?516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推

理论证能力.满分14分.

证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点， 所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1， 所以A1B1∥ED.

又因为ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1， 所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又因为BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.

因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C， 所以BE⊥平面A1ACC1.

因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.

17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础

知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C的焦距为2c.

因为F1(-1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1. 又因为DF1=

553，AF2⊥x轴，所以DF2=DF12?F1F22?()2?22?， 222因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2. 由b2=a2-c2，得b2=3.

x2y2因此，椭圆C的标准方程为??1.

43（2）解法一：

x2y2由（1）知，椭圆C：??1，a=2，

43因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.

将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4. 因为点A在x轴上方，所以A(1，4). 又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.

?y?2x?2由?，得5x2?6x?11?0， 22?(x?1)?y?16解得x?1或x??将x??11. 51112代入y?2x?2，得 y??， 5511123因此B(?,?).又F2(1，0)，所以直线BF2：y?(x?1).

5543?y?(x?1)??1342. x?由?2，得，解得或x??17x?6x?13?027?x?y?1?3?4又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x??1. 将x??1代入y?解法二：

333(x?1)，得y??.因此E(?1,?). 422x2y2由（1）知，椭圆C：??1.如图，连结EF1.

43因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB， 从而∠BF1E=∠B.

因为F2A=F2B，所以∠A=∠B， 所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A. 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.

?x??13?因为F1(-1，0)，由?x2y2，得y??.

2?1??3?4又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y??因此E(?1,?).

3. 23218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学

知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：

（1）过A作AE?BD，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE?BE?AC?6, AE?CD?8.' 因为PB⊥AB，

所以cos?PBD?sin?ABE?所以PB?84?. 105BD12??15.

cos?PBD45因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，连结AD，由（1）知AD?AE2?ED2?10，

AD2?AB2?BD27??0，所以∠BAD为锐角. 从而cos?BAD?2AD?AB25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半