历年湖北省孝感市中考数学试卷(含答案)

﹣3） 和 （﹣1，﹣4） ；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D． ①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值

时，求m的值．

【分析】（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；

（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值． 【解答】解：

（1）∵y=（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），

由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），

故答案为：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）； （2）①∵抛物线解析式为y=m（x﹣1）2﹣4m，

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，解得或，

∴其伴随直线为y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），

在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3， ∴C（﹣1，0），D（3，0），

∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2， ∵∠CAB=90°，

∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=或m=﹣

，

；

（抛物线开口向下，舍去），解得

或

，

∴当∠CAB=90°时，m的值为﹣②设直线BC的解析式为y=kx+b， ∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0）， ∴

，解得

，

∴直线BC解析式为y=﹣mx﹣m， 过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，

∵点P的横坐标为x，

∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m）， ∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，

∴PQ=m（x﹣1）2﹣4m+mx+m=m（x2﹣x﹣2）=m[（x﹣）2﹣]， ∴S△PBC=×[（2﹣（﹣1）]PQ=（x﹣）2﹣

m，

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∴当x=时，△PBC的面积有最大值﹣∴S取得最大值

时，即﹣

m=

m，

，解得m=﹣2．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意伴随直线的定义的理解，在（2）①中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在（2）②中用x表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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